Otwarte3 pkt
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej \(a\), która przy dzieleniu przez \(5\) daje resztę \(1\), i dla każdej liczby całkowitej \(b\), która przy dzieleniu przez \(5\) daje resztę \(4\), liczba \(a^2-b^2\) jest podzielna przez \(5\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Zapisz liczby z podanymi resztami
Z definicji reszty z dzielenia istnieją liczby całkowite k i l o podanej postaci.
\[a=5k+1,\qquad b=5l+4,\qquad k,l\in\mathbb{Z}\]
2 Zastosuj wzór na różnicę kwadratów
Suma a i b jest wielokrotnością 5, więc jeden z czynników iloczynu jest podzielny przez 5.
\[a+b=5(k+l+1),\qquad a^2-b^2=(a-b)(a+b)=5(a-b)(k+l+1)\]
Odpowiedź
Dla każdej pary liczb spełniających warunki zadania liczba \(a^2-b^2\) jest podzielna przez \(5\).
\[5\mid(a^2-b^2)\]
Sprawdzenie
Liczba \((a-b)(k+l+1)\) jest całkowita, więc otrzymany iloczyn rzeczywiście jest wielokrotnością \(5\).
\[\frac{a^2-b^2}{5}=(a-b)(k+l+1)\in\mathbb{Z}\]