Otwarte3 pkt
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) wykres funkcji kwadratowej \(f\) przechodzi przez punkt \((2,15)\). Osią symetrii tego wykresu jest prosta o równaniu \(x=-1\). Jednym z miejsc zerowych funkcji \(f\) jest liczba \(1\).
Wyznacz wzór funkcji \(f\) w postaci kanonicznej. Zapisz obliczenia.
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Wyznaczenie drugiego miejsca zerowego
Oś symetrii leży w połowie odległości między miejscami zerowymi. Skoro jednym z nich jest 1, drugim jest −3.
\[\frac{1+x_2}{2}=-1\quad\Rightarrow\quad x_2=-3\]
2 Wyznaczenie współczynnika
Zapisujemy funkcję za pomocą miejsc zerowych i podstawiamy współrzędne punktu (2,15).
\[f(x)=a(x-1)(x+3),\qquad 15=a(2-1)(2+3)=5a,\qquad a=3\]
3 Zapisanie postaci kanonicznej
Przekształcamy iloczyn przez dopełnienie kwadratu, aby otrzymać postać kanoniczną.
\[f(x)=3(x-1)(x+3)=3(x^2+2x-3)=3\bigl((x+1)^2-4\bigr)=3(x+1)^2-12\]
Odpowiedź
Wzór funkcji w postaci kanonicznej to \(f(x)=3(x+1)^2-12\).
\[f(x)=3(x+1)^2-12\]
Sprawdzenie
Dla x=2 wartość funkcji wynosi 15, dla x=1 wynosi 0, a z postaci kanonicznej wynika, że osią symetrii jest x=−1.
\[f(2)=3\cdot 3^2-12=15,\qquad f(1)=3\cdot 2^2-12=0,\qquad x_{\mathrm{oś}}=-1\]