Otwarte2 pkt
Rozwiąż nierówność
\(x(x+4) \lt x-2\)
Zapisz obliczenia.
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Przenieś wyrazy na jedną stronę
Sprowadzamy nierówność do postaci, w której można zbadać znak trójmianu kwadratowego.
\[x(x+4)<x-2\iff x^2+3x+2<0\]
2 Rozłóż trójmian na czynniki
Miejsca zerowe czynników wyznaczają granice przedziałów, w których iloczyn może zmieniać znak.
\[x^2+3x+2=(x+1)(x+2),\qquad x=-2\ \text{lub}\ x=-1\]
3 Wyznacz przedział rozwiązania
Iloczyn dwóch czynników jest ujemny między miejscami zerowymi. Końców nie włączamy, ponieważ nierówność jest ostra.
\[(x+1)(x+2)<0\iff -2<x<-1\]
Odpowiedź
Zbiorem rozwiązań jest przedział \((-2,-1)\).
\[x\in(-2,-1)\]
Sprawdzenie
Dla liczby −3/2 leżącej w tym przedziale różnica stron nierówności wynosi −1/4, więc nierówność zachodzi. Dla −2 i −1 różnica wynosi zero, dlatego końce przedziału nie należą do rozwiązania.
\[x(x+4)-(x-2)\big|_{x=-\frac32}=-\frac14<0,\qquad (x+1)(x+2)\big|_{x=-2}=0,\qquad (x+1)(x+2)\big|_{x=-1}=0\]