Zamknięte1 pkt
Dany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych \(\alpha\) oraz \(\beta\) (zobacz rysunek). Sinus kąta \(\alpha\) jest równy \(\frac{4}{7}\).
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
| Cosinus kąta \(\alpha\) jest równy \(\frac{3}{7}\). | P | F |
| Cosinus kąta \(\beta\) jest równy \(\frac{4}{7}\). | P | F |
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Obliczenie cosinusa kąta α
Kąt α jest ostry, więc jego cosinus jest dodatni. Korzystamy z jedynki trygonometrycznej.
\[\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-\left(\frac{4}{7}\right)^2=\frac{33}{49},\qquad \cos\alpha=\frac{\sqrt{33}}{7}\]
2 Obliczenie cosinusa kąta β
Kąty ostre w trójkącie prostokątnym sumują się do 90°, dlatego cosinus kąta β jest równy sinusowi kąta α.
\[\alpha+\beta=90^\circ,\qquad \cos\beta=\sin\alpha=\frac{4}{7}\]
Odpowiedź
Pierwsze stwierdzenie: F. Drugie stwierdzenie: P.
\[\cos\alpha=\frac{\sqrt{33}}{7}\ne\frac{3}{7},\qquad \cos\beta=\frac{4}{7}\]
Sprawdzenie
Obliczony cosinus kąta α jest dodatni, a kwadraty sinusa i cosinusa sumują się do 1.
\[\left(\frac{4}{7}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{33}}{7}\right)^2=\frac{16}{49}+\frac{33}{49}=1\]