Arkusz maturalny

Matematyka — matura 2026

Poziom podstawowyMajFormuła 2023

Zobacz zadania i rozwiązania 37 zadań z arkusza

KluczPobierz PDF ArkuszPobierz PDF

Zadania z arkusza — rozwiązania krok po kroku

37 zadań · Rozwiń rozwiązanie pod wybranym zadaniem.

Zadanie 1

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $\sqrt{\frac{25}{8}}\cdot\sqrt{2}+2^{-1}$ jest równa

$1$

$2$

$3$

$4$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Połącz pierwiastki

Obie liczby pod pierwiastkami są nieujemne, więc możemy skorzystać ze wzoru na iloczyn pierwiastków.

\[\sqrt{\frac{25}{8}}\cdot\sqrt{2}=\sqrt{\frac{25}{8}\cdot 2}=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}\]

2 Oblicz potęgę i dodaj

Wykładnik $-1$ oznacza odwrotność liczby 2.

\[\frac{5}{2}+2^{-1}=\frac{5}{2}+\frac{1}{2}=3\]

Odpowiedź

Odpowiedź C: 3.

\[3\]

Sprawdzenie

Kwadrat otrzymanej wartości pierwszego składnika jest równy iloczynowi liczb pod pierwiastkami, a po dodaniu jednej drugiej otrzymujemy 3.

\[\left(\frac{5}{2}\right)^2=\frac{25}{8}\cdot2=\frac{25}{4},\qquad \frac{5}{2}+\frac{1}{2}=3\]

Zadanie 2

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Klient wpłacił do banku 10 000 zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości 6% od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie – zgodnie z procentem składanym.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Po dwóch latach oszczędzania łączna wartość doliczonych odsetek na tej lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa

1200 zł

1236 zł

1836 zł

3600 zł

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odsetki po pierwszym roku

Bank dolicza 6% do wpłaconego kapitału, więc od tej kwoty obliczamy pierwszy przyrost.

\[10\,000\cdot 0{,}06=600\ \text{zł}\]

2 Odsetki po drugim roku

Zgodnie z procentem składanym drugie odsetki liczymy od kapitału powiększonego o pierwsze odsetki.

\[(10\,000+600)\cdot 0{,}06=636\ \text{zł}\]

3 Suma odsetek

Dodajemy odsetki z obu lat.

\[600+636=1236\ \text{zł}\]

Odpowiedź

B. Łączna wartość odsetek wynosi 1236 zł.

\[1236\ \text{zł}\]

Sprawdzenie

Po dwóch latach na lokacie jest 11 236 zł; po odjęciu wpłaconych 10 000 zł otrzymujemy 1236 zł odsetek.

\[10\,000\cdot(1{,}06)^2-10\,000=11\,236-10\,000=1236\ \text{zł}\]

Zadanie 3

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $\sqrt{5\sqrt{5}}$ jest równa

$5^{\frac{1}{4}}$

$5^{\frac{1}{2}}$

$5^{\frac{3}{4}}$

$5$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz pierwiastki jako potęgi

Pierwiastek kwadratowy to potęga o wykładniku $\frac{1}{2}$, więc możemy zastosować prawa działań na potęgach o tej samej podstawie.

\[\sqrt{5\sqrt{5}}=\left(5\cdot5^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(5^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=5^{\frac{3}{4}}\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[5^{\frac{3}{4}}\]

Sprawdzenie

Otrzymana liczba jest dodatnia, a jej kwadrat wynosi $5\sqrt{5}$, więc jest szukanym pierwiastkiem kwadratowym.

\[\left(5^{\frac{3}{4}}\right)^2=5^{\frac{3}{2}}=5\sqrt{5}\]

Zadanie 4

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $\log_{8}4-\log_{8}32$ jest równa

$(-2)$

$(-1)$

$1$

$2$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Połącz logarytmy

Logarytmy mają tę samą podstawę, więc ich różnica jest logarytmem ilorazu argumentów.

\[\log_{8}4-\log_{8}32=\log_{8}\frac{4}{32}=\log_{8}\frac{1}{8}\]

2 Oblicz wartość

Ponieważ $8^{-1}=\frac{1}{8}$, szukany logarytm jest równy $-1$.

\[\log_{8}\frac{1}{8}=-1\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: −1.

\[-1\]

Sprawdzenie

Argumenty logarytmów są dodatnie, a podstawa 8 jest dodatnia i różna od 1. Kontrola: $8^{-1}=\frac{1}{8}=\frac{4}{32}$.

\[8^{-1}=\frac{1}{8}=\frac{4}{32}\]

Zadanie 5

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Liczba naturalna $4^{12}\cdot 5^{24}$ jest podzielna przez $20$.	P	F
Liczba naturalna $4^{12}\cdot 5^{24}$ jest w zapisie dziesiętnym liczbą 25-cyfrową.	P	F

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Uproszczenie liczby

Zapisujemy 4 jako kwadrat 2 i łączymy potęgi o tym samym wykładniku.

\[4^{12}\cdot5^{24}=2^{24}\cdot5^{24}=(2\cdot5)^{24}=10^{24}\]

2 Podzielność przez 20

Wyłączamy czynnik 20. Pozostały czynnik jest liczbą całkowitą, więc pierwsze stwierdzenie jest prawdziwe.

\[10^{24}=20\cdot(5\cdot10^{22})\]

3 Liczba cyfr

Potęga $10^{24}$ to 1 i 24 zera, czyli liczba 25-cyfrowa. Drugie stwierdzenie też jest prawdziwe.

\[10^{24}=1\underbrace{00\ldots0}_{24\text{ zera}}\]

Odpowiedź

Pierwsze stwierdzenie: P. Drugie stwierdzenie: P.

\[\mathrm{P},\ \mathrm{P}\]

Sprawdzenie

Iloraz przez 20 jest całkowity. Ponadto liczba leży od $10^{24}$ do $10^{25}-1$, więc ma dokładnie 25 cyfr.

\[\frac{10^{24}}{20}=5\cdot10^{22}\in\mathbb{N},\qquad 10^{24}\leqslant10^{24}<10^{25}\]

Zadanie 6

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Wyrażenia algebraiczne

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia $x^2+10x+25$ dla $x=\sqrt{2}-5$ jest równa

$2$

$\sqrt{2}$

$2-20\sqrt{2}$

$62-10\sqrt{2}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie wzoru skróconego mnożenia

Wyrażenie jest kwadratem sumy, więc można najpierw zapisać je w prostszej postaci.

\[x^2+10x+25=(x+5)^2\]

2 Podstawienie wartości x

Po podstawieniu liczby $x=\sqrt{2}-5$ składniki $-5$ i $5$ się redukują.

\[(x+5)^2=(\sqrt{2}-5+5)^2=(\sqrt{2})^2=2\]

Odpowiedź

Wartość wyrażenia wynosi 2. Odpowiedź A.

\[2\]

Sprawdzenie

Dla podanego x mamy $x+5=\sqrt{2}$, a jego kwadrat jest równy 2, zgodnie z otrzymanym wynikiem.

\[(\sqrt{2})^2=2\]

Zadanie 7

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Liczby rzeczywiste

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $n$ liczba $7n^2+21n$ jest podzielna przez $14$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyłącz 7 przed nawias

Aby wykazać podzielność przez 14, wystarczy wykazać, że pozostały czynnik jest parzysty.

\[7n^2+21n=7n(n+3)\]

2 Wykaż parzystość iloczynu

Liczby całkowite n i n+3 mają różną parzystość, więc jedna z nich jest parzysta. Ich iloczyn można zatem zapisać jako 2k dla pewnej liczby całkowitej k.

\[n(n+3)=2k\quad(k\in\mathbb{Z})\]

3 Zapisz liczbę jako wielokrotność 14

Po podstawieniu otrzymujemy liczbę podzielną przez 14.

\[7n^2+21n=7\cdot2k=14k\]

Odpowiedź

Dla każdej liczby całkowitej n liczba 7n²+21n jest podzielna przez 14.

\[14\mid(7n^2+21n)\quad\text{dla każdego }n\in\mathbb{Z}\]

Sprawdzenie

Jeśli n jest parzyste, parzysty jest czynnik n. Jeśli n jest nieparzyste, parzysty jest czynnik n+3. Obejmuje to każdą liczbę całkowitą, więc w obu przypadkach n(n+3) jest parzyste.

\[n\equiv0\pmod 2\ \lor\ n+3\equiv0\pmod 2\]

Zadanie 8

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Dane jest równanie $3(x+3)(x-m)(2x+4)=0$, gdzie $x$ jest niewiadomą, natomiast $m$ jest pewną liczbą rzeczywistą.

Suma wszystkich rozwiązań tego równania jest równa $0$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $m$ jest równa

$-7$

$2$

$5$

$7$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie rozwiązań

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden jego czynnik jest równy zeru.

\[x+3=0\ \lor\ x-m=0\ \lor\ 2x+4=0\quad\Longrightarrow\quad x=-3\ \lor\ x=m\ \lor\ x=-2\]

2 Obliczenie parametru

Suma rozwiązań wynosi zero. Dla wartości z odpowiedzi są to trzy różne liczby.

\[-3+m-2=0\quad\Longrightarrow\quad m=5\]

Odpowiedź

Liczba m jest równa 5. Odpowiedź C.

\[m=5\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu m = 5 rozwiązania to −3, −2 i 5. Są różne, a ich suma wynosi 0.

\[-3+(-2)+5=0\]

Zadanie 9

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Rozwiązaniem równania $\frac{x+2}{3x-1}=\frac{2}{5}$ jest liczba

$\frac{1}{3}$

$\frac{8}{11}$

$3$

$12$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek

Mianownik nie może być zerem.

\[3x-1\ne 0\quad\Longrightarrow\quad x\ne\frac{1}{3}\]

2 Rozwiązanie równania

Mnożymy obie strony przez $5(3x-1)$, a następnie rozwiązujemy równanie liniowe.

\[5(x+2)=2(3x-1)\quad\Longrightarrow\quad 5x+10=6x-2\quad\Longrightarrow\quad x=12\]

Odpowiedź

Rozwiązaniem jest liczba 12, czyli odpowiedź D.

\[x=12\]

Sprawdzenie

Liczba 12 spełnia warunek. Po podstawieniu obie strony równania są równe.

\[3\cdot12-1=35\ne0,\qquad \frac{12+2}{3\cdot12-1}=\frac{14}{35}=\frac{2}{5}\]

Zadanie 10

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

Rozwiąż nierówność $3x^2+4x\geq 6x+8$.

Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przenieś wyrazy na jedną stronę

Odejmujemy $6x+8$ od obu stron, aby porównać trójmian z zerem.

\[3x^2+4x\geq 6x+8\iff 3x^2-2x-8\geq 0\]

2 Rozłóż trójmian na czynniki

Iloczyn pozwala wyznaczyć miejsca zerowe i znak wyrażenia.

\[3x^2-2x-8=(3x+4)(x-2),\qquad x_1=-\frac{4}{3},\quad x_2=2\]

3 Wyznacz przedziały rozwiązania

Iloczyn jest nieujemny, gdy oba czynniki mają ten sam znak. Włączamy miejsca zerowe, ponieważ nierówność jest nieostra.

\[(3x+4)(x-2)\geq 0\iff x\leq-\frac{4}{3}\ \text{lub}\ x\geq 2\]

Odpowiedź

Rozwiązaniem jest suma dwóch przedziałów.

\[x\in\left(-\infty,-\frac{4}{3}\right]\cup[2,\infty)\]

Sprawdzenie

Dla obu końców przedziałów iloczyn wynosi zero. Dla $x=0$, leżącego między miejscami zerowymi, wynosi $-8<0$; poza nimi czynniki mają jednakowe znaki, więc iloczyn jest dodatni.

\[(3x+4)(x-2)=0\ \text{dla}\ x=-\frac{4}{3}\ \text{i}\ x=2;\qquad (3\cdot0+4)(0-2)=-8<0\]

Zadanie 11

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Układy równań

Na przedstawienie w pewnym teatrze sprzedawano bilety według poniższego cennika.

CENNIK BILETÓW
Rodzaj biletu	Cena w złotych
Normalny	35
Ulgowy	25

Na to przedstawienie sprzedano łącznie $200$ biletów. Po opłaceniu kosztów związanych z organizacją przedstawienia w wysokości $25\%$ wpływów ze sprzedaży biletów organizatorom pozostało $4665$ zł.

Oblicz liczbę biletów ulgowych sprzedanych na to przedstawienie. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie wpływów

Po opłaceniu kosztów pozostało 75% wpływów, więc z tej kwoty obliczamy całe wpływy.

\[W=\frac{4665}{0{,}75}=6220\ \text{zł}\]

2 Ułożenie równania

Jeśli sprzedano x biletów ulgowych, to normalnych sprzedano 200-x. Suma kwot za oba rodzaje biletów wynosi 6220 zł.

\[25x+35(200-x)=6220\]

3 Rozwiązanie równania

Upraszczamy równanie, aby wyznaczyć liczbę biletów ulgowych.

\[25x+7000-35x=6220\quad\Longrightarrow\quad 10x=780\quad\Longrightarrow\quad x=78\]

Odpowiedź

Sprzedano 78 biletów ulgowych.

\[x=78\]

Sprawdzenie

Pozostałe 122 bilety były normalne. Wpływy wyniosły 6220 zł, a po odjęciu 25% kosztów pozostało 4665 zł.

\[78+122=200,\quad 78\cdot25+122\cdot35=6220,\quad 0{,}75\cdot6220=4665\]

Zadanie 12.1

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Funkcje

Funkcja $f$ jest określona następująco:

\[f(x)=\begin{cases}x+2 & \text{dla }x\in[-4,2]\\-x+5 & \text{dla }x\in(2,5)\end{cases}\]

Wykres funkcji $y=f(x)$ przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ na rysunku poniżej.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

Rozwiązaniem równania $f(x)=3$ jest liczba ……… .
Największa wartość funkcji $f$ w przedziale $[2,3]$ jest równa ……… .

Wykres funkcji y=f(x) w układzie współrzędnych, z zaznaczonymi końcami obu odcinków.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozwiązanie równania

Rozwiązujemy równanie osobno dla każdej części definicji i sprawdzamy, czy otrzymane liczby należą do odpowiednich przedziałów.

\[x+2=3\Rightarrow x=1\in[-4,2];\qquad -x+5=3\Rightarrow x=2\notin(2,5).\]

2 Największa wartość

Dla x=2 obowiązuje pierwszy wzór, więc f(2)=4. Na pozostałej części przedziału [2,3] obowiązuje wzór -x+5, który przy x>2 daje wartości mniejsze od 3.

\[f(2)=2+2=4,\qquad 2<x\leq 3\Rightarrow f(x)=-x+5<3<4.\]

Odpowiedź

W puste miejsca należy wpisać kolejno 1 i 4.

\[1.\ x=1;\qquad 2.\ \max_{x\in[2,3]}f(x)=4\]

Sprawdzenie

Liczba 1 należy do dziedziny i f(1)=3. Liczba 2 nie należy do drugiego przedziału, a f(2)=4. Dla każdego x z (2,3] wartość funkcji jest mniejsza od 3, więc 4 jest największą wartością na [2,3].

\[f(1)=1+2=3,\qquad f(2)=2+2=4,\qquad x\in(2,3]\Rightarrow f(x)<3<4.\]

Zadanie 12.2

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Funkcje

Funkcja $f$ jest określona następująco:

\[f(x)=\begin{cases}x+2 & \text{dla } x\in[-4,2],\\-x+5 & \text{dla } x\in(2,5).\end{cases}\]

Wykres funkcji $y=f(x)$ przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ na rysunku poniżej.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział ………………… .
Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartości większe od $1$, jest przedział ………………… .

Wykres funkcji y=f(x) w układzie współrzędnych, z oznaczonymi końcami odcinków.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zbiór wartości

Pierwsza część funkcji rośnie od wartości −2 do 4, a druga przyjmuje wartości od 0 do 3 bez końców. Razem daje to przedział od −2 do 4 z oboma końcami.

\[f([-4,2])=[-2,4],\quad f((2,5))=(0,3),\quad W_f=[-2,4]\]

2 Wartości większe od 1

Rozwiązujemy nierówność osobno dla każdego wzoru i uwzględniamy jego dziedzinę. Następnie łączymy otrzymane przedziały.

\[\begin{aligned}x+2>1&\iff x>-1 &&\Rightarrow x\in(-1,2],\\-x+5>1&\iff x<4 &&\Rightarrow x\in(2,4).\end{aligned}\quad (-1,2]\cup(2,4)=(-1,4)\]

Odpowiedź

1. Zbiór wartości: [−2, 4]. 2. Argumenty, dla których f(x) > 1: (−1, 4).

\[W_f=[-2,4],\qquad \{x:f(x)>1\}=(-1,4)\]

Sprawdzenie

Wartości −2 i 4 są osiągane odpowiednio dla x = −4 i x = 2. Na granicach drugiego przedziału argumentów, x = −1 i x = 4, funkcja ma wartość 1, więc nie należą one do rozwiązania nierówności.

\[f(-4)=-2,\quad f(2)=4,\quad f(-1)=1,\quad f(4)=1\]

Zadanie 13.1

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=ax+b$, gdzie $a$ i $b$ są pewnymi liczbami rzeczywistymi. W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ przedstawiono fragment wykresu funkcji $f$. Każdy z punktów przecięcia wykresu funkcji $f$ z osiami układu współrzędnych ma obie współrzędne całkowite. Wykres funkcji $f$ jest nachylony do osi $Ox$ układu współrzędnych pod kątem o mierze $\alpha$ (zobacz rysunek).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Współczynnik $a$ we wzorze funkcji $f$ jest liczbą dodatnią.	P	F
Współczynnik $b$ we wzorze funkcji $f$ jest liczbą dodatnią.	P	F

Fragment wykresu funkcji liniowej y=f(x) w układzie współrzędnych, z oznaczonym kątem α.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczyt punktów przecięcia

Aby wyznaczyć współczynniki funkcji, odczytujemy z wykresu jej przecięcia z osiami.

\[(-2,0),\quad(0,-3)\]

2 Wyznaczenie współczynników

Współczynnik kierunkowy obliczamy z dwóch punktów, a wyraz wolny jest wartością funkcji dla x=0.

\[a=\frac{-3-0}{0-(-2)}=-\frac{3}{2}<0,\qquad b=f(0)=-3<0\]

Odpowiedź

Oba stwierdzenia są fałszywe: 1. F, 2. F.

\[a=-\frac{3}{2}<0,\qquad b=-3<0\]

Sprawdzenie

Funkcja o wyznaczonych współczynnikach przecina oś Ox w punkcie (-2,0), a oś Oy w punkcie (0,-3), zgodnie z wykresem.

\[f(-2)=-\frac{3}{2}\cdot(-2)-3=0,\qquad f(0)=-3\]

Zadanie 13.2

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Tangens kąta o mierze $\alpha$ jest równy

$Fragment wykresu funkcji $y=f(x)$ w układzie współrzędnych z zaznaczonym kątem $\alpha$.$

$-\frac{3}{2}$

$-\frac{2}{3}$

$\frac{2}{3}$

$\frac{3}{2}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczytanie punktów

Z wykresu odczytujemy całkowite współrzędne punktów przecięcia prostej z osiami.

\[P=(-2,0),\quad Q=(0,-3)\]

2 Obliczenie tangensa

Tangens kąta nachylenia prostej do osi Ox jest równy jej współczynnikowi kierunkowemu.

\[\tan\alpha=a=\frac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P}=\frac{-3-0}{0-(-2)}=-\frac{3}{2}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[\tan\alpha=-\frac{3}{2}\]

Sprawdzenie

Prosta opada w prawo, więc jej współczynnik kierunkowy i tangens zaznaczonego kąta rozwartego są ujemne. Obliczona wartość spełnia ten warunek.

\[-\frac{3}{2}<0\]

Zadanie 14

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Funkcje

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ wykresem funkcji kwadratowej $f$ jest parabola o wierzchołku w punkcie $W=(3,-2)$. Funkcja kwadratowa $g$ jest określona za pomocą funkcji $f$ wzorem $g(x)=f(x+1)$. Jednym z miejsc zerowych funkcji $g$ jest liczba $0$.

Wyznacz wzór funkcji $f$ w postaci ogólnej. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Postać kanoniczna

Wierzchołek paraboli ma współrzędne $W=(3,-2)$, więc zapisujemy funkcję w postaci kanonicznej.

\[f(x)=a(x-3)^2-2\]

2 Wyznaczenie współczynnika

Skoro $0$ jest miejscem zerowym funkcji $g$, to $g(0)=f(1)=0$. Podstawiamy $x=1$, aby obliczyć $a$.

\[0=a(1-3)^2-2=4a-2\quad\Longrightarrow\quad a=\frac12\]

3 Postać ogólna

Rozwijamy kwadrat i porządkujemy wyrazy.

\[f(x)=\frac12(x-3)^2-2=\frac12(x^2-6x+9)-2=\frac12x^2-3x+\frac52\]

Odpowiedź

Wzór funkcji f w postaci ogólnej to:

\[f(x)=\frac12x^2-3x+\frac52\]

Sprawdzenie

Po zapisaniu otrzymanej funkcji w postaci kanonicznej widać, że jej wierzchołek to $W=(3,-2)$. Ponadto $g(0)=f(1)=0$, więc podane miejsce zerowe się zgadza.

\[f(x)=\frac12(x-3)^2-2,\qquad g(0)=f(1)=\frac12(1-3)^2-2=0\]

Zadanie 15

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte3 pkt

Ciągi

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n=3n+5$ dla każdej liczby naturalnej $n\geq 1$. Trzywyrazowy ciąg $(a_1,a_9,a_k)$ jest geometryczny.

Oblicz $k$. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie znanych wyrazów

Podstawiamy indeksy 1 i 9 do wzoru ciągu.

\[a_1=3\cdot1+5=8,\qquad a_9=3\cdot9+5=32\]

2 Wyznaczenie trzeciego wyrazu

W ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu jest iloczynem wyrazów skrajnych.

\[a_9^2=a_1a_k,\qquad 32^2=8a_k,\qquad a_k=128\]

3 Obliczenie indeksu

Korzystamy ze wzoru na wyraz o indeksie k.

\[3k+5=128,\qquad 3k=123,\qquad k=41\]

Odpowiedź

k = 41

\[k=41\]

Sprawdzenie

Dla k = 41 trzeci wyraz wynosi 128. Ilorazy kolejnych wyrazów są równe 4, a indeks 41 jest liczbą naturalną większą od 1.

\[a_{41}=3\cdot41+5=128,\qquad \frac{32}{8}=\frac{128}{32}=4\]

Zadanie 16

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg arytmetyczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\geq 1$. W tym ciągu $a_1=1$ oraz $a_5=17$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dziewiąty wyraz ciągu $(a_n)$ jest równy

$29$

$33$

$34$

$37$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie różnicy ciągu

W ciągu arytmetycznym każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego o tę samą liczbę. Od pierwszego do piątego wyrazu są cztery takie przyrosty.

\[a_5=a_1+4r,\quad 17=1+4r,\quad r=4\]

2 Obliczenie dziewiątego wyrazu

Od pierwszego do dziewiątego wyrazu są osiem przyrostów równych 4.

\[a_9=a_1+8r=1+8\cdot4=33\]

Odpowiedź

Dziewiąty wyraz wynosi 33. Odpowiedź B.

\[a_9=33\]

Sprawdzenie

Przy różnicy 4 piąty wyraz wynosi 17, zgodnie z treścią zadania.

\[a_5=1+4\cdot4=17\]

Zadanie 17

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte1 pkt

Ciągi

Ciąg geometryczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\geq 1$. Wyrazy trzeci i szósty tego ciągu spełniają warunek $a_3\cdot a_6=18$.

Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.

Iloczyn $a_2\cdot a_7$ jest równy ……… .

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz wyrazy ciągu

W ciągu geometrycznym każdy wyraz ma postać $a_n=a_1q^{n-1}$.

\[a_3a_6=(a_1q^2)(a_1q^5)=a_1^2q^7=18\]

2 Oblicz szukany iloczyn

Suma wykładników dla wyrazów drugiego i siódmego również wynosi $7$, więc ich iloczyn jest taki sam.

\[a_2a_7=(a_1q)(a_1q^6)=a_1^2q^7=18\]

Odpowiedź

W wykropkowanym miejscu należy wpisać 18.

\[a_2a_7=18\]

Sprawdzenie

W obu iloczynach czynnikami są dwa razy $a_1$, a wykładniki ilorazu sumują się do $7$: odpowiednio $2+5$ i $1+6$. Zatem oba iloczyny są równe dla każdego ciągu spełniającego podany warunek.

\[a_3a_6=a_1^2q^{2+5}=a_1^2q^{1+6}=a_2a_7=18\]

Zadanie 18

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$, w którym bok $AC$ jest przeciwprostokątną oraz $|BC|=2$ i $|AC|=2\sqrt{10}$. Oznaczmy kąt $BCA$ przez $\gamma$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Sinus kąta $\gamma$ jest równy

Trójkąt prostokątny ABC z kątem prostym przy B i kątem γ przy C. Przeciwprostokątna AC ma oznaczenie 2√10, a bok BC oznaczenie 2.

$\frac{1}{\sqrt{10}}$

$\frac{1}{3}$

$\frac{3}{\sqrt{10}}$

$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{11}}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie boku AB

Ponieważ AC jest przeciwprostokątną, z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość boku leżącego naprzeciw kąta γ.

\[|AB|^2=|AC|^2-|BC|^2=(2\sqrt{10})^2-2^2=40-4=36,\quad |AB|=6\]

2 Obliczenie sinusa

Sinus kąta ostrego to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw niego do długości przeciwprostokątnej.

\[\sin\gamma=\frac{|AB|}{|AC|}=\frac{6}{2\sqrt{10}}=\frac{3}{\sqrt{10}}\]

Odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C.

\[\sin\gamma=\frac{3}{\sqrt{10}}\]

Sprawdzenie

Dla tego kąta cosinus wynosi 1/√10. Suma kwadratów otrzymanego sinusa i cosinusa jest równa 1.

\[\cos\gamma=\frac{2}{2\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{10}},\quad \left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)^2=\frac{9}{10}+\frac{1}{10}=1\]

Zadanie 19

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Punkty $A$, $B$, $C$ oraz $D$ leżą na okręgu o środku w punkcie $O$. Punkt $B$ leży na krótszym łuku $AC$. Kąt $CDA$ ma miarę $50^\circ$, a kąt $COB$ ma miarę $30^\circ$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta ostrego $BOA$ jest równa

Okrąg o środku O z punktami A, B, C i D. Zaznaczono kąt CDA równy 50°, kąt COB równy 30° oraz zacieniowano kąt BOA.

$50^\circ$

$60^\circ$

$70^\circ$

$100^\circ$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie kąta środkowego AOC

Kąt środkowy oparty na łuku AC jest dwa razy większy od kąta wpisanego CDA opartego na tym samym łuku.

\[\angle AOC=2\angle CDA=2\cdot50^\circ=100^\circ\]

2 Obliczenie kąta BOA

Punkt B leży na krótszym łuku AC, więc kąt AOC jest sumą kątów AOB i BOC.

\[\angle BOA=\angle AOC-\angle COB=100^\circ-30^\circ=70^\circ\]

Odpowiedź

Kąt BOA ma miarę 70°. Odpowiedź C.

\[\boxed{70^\circ\text{ — C}}\]

Sprawdzenie

Suma otrzymanego kąta BOA i danego kąta COB wynosi 100°, czyli tyle, ile kąt AOC. Kąt 70° jest ostry.

\[70^\circ+30^\circ=100^\circ\]

Zadanie 20

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Na płaszczyźnie dane są cztery proste: $k$, $l$, $m$ oraz $n$. Proste $k$ oraz $l$ są równoległe. Prosta $m$ przecina proste $k$ oraz $l$ w punktach – odpowiednio – $A$ oraz $C$. Prosta $n$ przecina proste $k$ oraz $l$ w punktach – odpowiednio – $D$ oraz $B$. Odcinki $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $O$. Ponadto $|OA|=12$, $|OB|=6$ oraz $|OC|=8$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Odcinek $OD$ ma długość

Dwie równoległe proste k i l przecięte prostymi m i n. Punkty A i D leżą na k, punkty C i B na l, a O jest punktem przecięcia odcinków AC i BD. Na rysunku oznaczono OA jako 12, OB jako 6 i OC jako 8.

$4$

$9$

$10$

$16$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podobieństwo trójkątów

Ponieważ proste k i l są równoległe, a kąty przy O są wierzchołkowe, trójkąty AOD i COB są podobne. Odpowiadające sobie boki są proporcjonalne.

\[\frac{|OA|}{|OC|}=\frac{|OD|}{|OB|}\]

2 Obliczenie długości

Podstawiamy podane długości i mnożymy obie strony równania przez 6.

\[\frac{12}{8}=\frac{|OD|}{6}\quad\Rightarrow\quad |OD|=\frac{12\cdot6}{8}=9\]

Odpowiedź

Odcinek OD ma długość 9. Odpowiedź B.

\[|OD|=9\]

Sprawdzenie

Stosunki odpowiadających sobie boków są równe: 12 do 8 oraz 9 do 6 wynoszą 3 do 2.

\[\frac{12}{8}=\frac{9}{6}=\frac32\]

Zadanie 21

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

Dany jest trójkąt $KLM$, w którym $|KM|=a$ oraz $|LM|=b$. Dwusieczna kąta $LMK$ przecina bok $KL$ w punkcie $N$ (zobacz rysunek).

Wykaż, że stosunek pola trójkąta $KNM$ do pola trójkąta $NLM$ jest równy $\frac{a}{b}$.

Trójkąt KLM z dwusieczną kąta LMK przecinającą bok KL w punkcie N. Bok KM oznaczono a, bok LM oznaczono b; przy wierzchołku M zaznaczono równe kąty.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Oznaczenie równych kątów

Odcinek MN jest dwusieczną kąta przy wierzchołku M, więc oba powstałe kąty mają tę samą miarę.

\[\angle KMN=\angle NML=\alpha\]

2 Obliczenie stosunku pól

Stosujemy wzór na pole z dwóch boków i kąta między nimi. W obu polach występują ten sam bok MN i ten sam sinus kąta, więc te czynniki się skracają.

\[\frac{P_{KNM}}{P_{NLM}}=\frac{\frac12\,a\cdot |MN|\sin\alpha}{\frac12\,b\cdot |MN|\sin\alpha}=\frac{a}{b}\]

Odpowiedź

Stosunek pola trójkąta KNM do pola trójkąta NLM wynosi $\frac{a}{b}$.

\[\frac{P_{KNM}}{P_{NLM}}=\frac{a}{b}\]

Sprawdzenie

W trójkącie niedegenerowanym $|MN|>0$ i $\sin\alpha>0$, więc skrócenie wspólnych czynników jest poprawne.

\[\frac12|MN|\sin\alpha>0\]

Zadanie 22

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte1 pkt

Planimetria

W okrąg $O$ o promieniu $9\sqrt{3}$ wpisano trójkąt równoboczny $T$.

Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.

Bok trójkąta $T$ ma długość ……… .

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Związek promienia z bokiem

Środek okręgu opisanego na trójkącie równobocznym dzieli jego wysokość w stosunku 2:1, licząc od wierzchołka. Wysokość trójkąta o boku a wynosi $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

\[R=\frac{2}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\]

2 Obliczenie boku

Podstawiamy podany promień i rozwiązujemy równanie względem a.

\[9\sqrt{3}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\quad\Rightarrow\quad a=27\]

Odpowiedź

Bok trójkąta T ma długość 27.

\[a=27\]

Sprawdzenie

Dla boku 27 promień okręgu opisanego wynosi $9\sqrt{3}$, zgodnie z treścią zadania.

\[R=\frac{27\sqrt{3}}{3}=9\sqrt{3}\]

Zadanie 23

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Kąt $\alpha$ jest ostry i spełnia warunek $\frac{3\sin\alpha+4\cos\alpha}{4\cos\alpha}=6$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Tangens kąta $\alpha$ jest równy

$\frac{5}{8}$

$\frac{8}{3}$

$\frac{32}{5}$

$\frac{20}{3}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przekształcenie równania

Mnożymy obie strony przez $4\cos\alpha$, a następnie przenosimy wyraz z cosinusem na prawą stronę.

\[3\sin\alpha+4\cos\alpha=24\cos\alpha\quad\Rightarrow\quad 3\sin\alpha=20\cos\alpha\]

2 Obliczenie tangensa

Kąt jest ostry, więc $\cos\alpha>0$. Dzielimy przez $3\cos\alpha$ i korzystamy z definicji tangensa.

\[\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{20}{3}\]

Odpowiedź

D. Tangens kąta α jest równy 20/3.

\[\tan\alpha=\frac{20}{3}\]

Sprawdzenie

Dla kąta ostrego o tangensie 20/3 mamy sinus 20/√409 i cosinus 3/√409. Po podstawieniu do warunku otrzymujemy 6.

\[\frac{3\cdot\frac{20}{\sqrt{409}}+4\cdot\frac{3}{\sqrt{409}}}{4\cdot\frac{3}{\sqrt{409}}}=\frac{72}{12}=6\]

Zadanie 24.1

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ punkty $A=(0,-3)$, $B=(2,1)$ oraz $C=(0,2)$ są wierzchołkami trójkąta prostokątnego.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole trójkąta $ABC$ jest równe

$3$

$5$

$6$

$10$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Długość podstawy

Punkty A i C mają tę samą współrzędną x, więc odcinek AC jest pionowy. Jego długość to różnica współrzędnych y.

\[|AC|=|2-(-3)|=5\]

2 Wysokość i pole

Wysokością opuszczoną z B na prostą AC jest odległość pozioma od tej prostej, równa 2. Stosujemy wzór na pole trójkąta.

\[h=|2-0|=2,\qquad P=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 2=5\]

Odpowiedź

B. Pole trójkąta ABC wynosi 5 jednostek kwadratowych.

\[P=5\]

Sprawdzenie

Wyznacznik wektorów AB=(2,4) i AC=(0,5) ma wartość 10, więc połowa jego wartości bezwzględnej daje ponownie pole 5.

\[P=\frac{1}{2}|2\cdot 5-4\cdot 0|=5\]

Zadanie 24.2

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ punkty $A=(0,-3)$, $B=(2,1)$ oraz $C=(0,2)$ są wierzchołkami trójkąta prostokątnego.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Środek okręgu opisanego na trójkącie $ABC$ ma współrzędne

$\left(\frac{2}{3},0\right)$

$\left(-\frac{1}{2},0\right)$

$\left(0,-\frac{2}{3}\right)$

$\left(0,-\frac{1}{2}\right)$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie przeciwprostokątnej

Iloczyn skalarny wektorów wychodzących z punktu B jest równy zeru, więc kąt przy B jest prosty, a przeciwprostokątną jest AC.

\[\overrightarrow{BA}=(-2,-4),\quad \overrightarrow{BC}=(-2,1),\quad (-2)(-2)+(-4)\cdot1=0\]

2 Wyznaczenie środka okręgu

W trójkącie prostokątnym środek okręgu opisanego jest środkiem przeciwprostokątnej. Obliczamy więc środek odcinka AC.

\[S=\left(\frac{0+0}{2},\frac{-3+2}{2}\right)=\left(0,-\frac12\right)\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: środek okręgu ma współrzędne (0, −1/2).

\[S=\left(0,-\frac12\right)\]

Sprawdzenie

Punkt S jest jednakowo odległy od wszystkich trzech wierzchołków: kwadraty odległości wynoszą 25/4.

\[SA^2=SC^2=\left(\frac52\right)^2=\frac{25}{4},\qquad SB^2=2^2+\left(\frac32\right)^2=\frac{25}{4}\]

Zadanie 25

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ dany jest okrąg $\mathcal{O}$ o środku w punkcie $S=(1,-3)$ i o promieniu $5$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Punkt $A=(4,-7)$ leży na okręgu $\mathcal{O}$.	P	F
Okrąg $\mathcal{O}$ jest określony równaniem $(x-1)^2+(y+3)^2=5$.	P	F

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Sprawdzenie położenia punktu A

Punkt leży na okręgu, gdy jego odległość od środka jest równa promieniowi.

\[|SA|=\sqrt{(4-1)^2+(-7-(-3))^2}=\sqrt{3^2+(-4)^2}=5\]

2 Wyznaczenie równania okręgu

W równaniu okręgu prawa strona jest kwadratem promienia, więc wynosi 25, a nie 5.

\[(x-1)^2+(y+3)^2=5^2=25\]

Odpowiedź

Pierwsze stwierdzenie: P. Drugie stwierdzenie: F.

Sprawdzenie

Po podstawieniu współrzędnych punktu A do poprawnego równania otrzymujemy 25. W równaniu podanym w drugim stwierdzeniu prawa strona wynosi 5, więc nie opisuje ono tego okręgu.

\[(4-1)^2+(-7+3)^2=9+16=25\]

Zadanie 26

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ dana jest prosta $k$ o równaniu $y=-\frac{1}{3}x+2$. Prosta $l$ jest równoległa do prostej $k$ i przechodzi przez punkt $(2,-2)$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Prosta $l$ przecina oś $Oy$ w punkcie

$(0,-3)$

$\left(0,-\frac{1}{2}\right)$

$(0,-1)$

$\left(0,-\frac{4}{3}\right)$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie równania prostej

Proste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy. Podstawiamy współrzędne punktu (2,−2), aby obliczyć wyraz wolny.

\[y=-\frac{1}{3}x+b,\qquad -2=-\frac{1}{3}\cdot2+b,\qquad b=-\frac{4}{3}\]

2 Przecięcie z osią Oy

Każdy punkt osi Oy ma pierwszą współrzędną równą zero, więc podstawiamy x=0.

\[y=-\frac{1}{3}\cdot0-\frac{4}{3}=-\frac{4}{3}\]

Odpowiedź

Prosta l przecina oś Oy w punkcie (0,−4/3). Odpowiedź D.

\[D:\ \left(0,-\frac{4}{3}\right)\]

Sprawdzenie

Dla x=2 równanie prostej l daje y=−2, więc prosta przechodzi przez podany punkt. Jej współczynnik kierunkowy wynosi −1/3, tak samo jak prostej k.

\[-\frac{1}{3}\cdot2-\frac{4}{3}=-2\]

Zadanie 27

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Stereometria

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym przekątna podstawy ma długość $8\sqrt{3}$. Krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $30^\circ$.

Oblicz objętość tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wysokości

W ostrosłupie prawidłowym wysokość pada na środek podstawy. Rzut krawędzi bocznej na podstawę ma długość równą połowie przekątnej kwadratu, więc korzystamy z tangensa kąta nachylenia.

\[h=\frac{8\sqrt{3}}{2}\cdot\tan 30^\circ=4\sqrt{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=4\]

2 Obliczenie pola podstawy

Pole kwadratu o przekątnej d wynosi $\frac{d^2}{2}$.

\[P_p=\frac{(8\sqrt{3})^2}{2}=96\]

3 Obliczenie objętości

Objętość ostrosłupa to jedna trzecia iloczynu pola podstawy i wysokości.

\[V=\frac{1}{3}P_ph=\frac{1}{3}\cdot96\cdot4=128\]

Odpowiedź

Objętość ostrosłupa wynosi 128 jednostek sześciennych.

\[V=128\]

Sprawdzenie

Wysokość jest dodatnia, a stosunek wysokości do połowy przekątnej podstawy daje wymagany kąt 30°.

\[\tan 30^\circ=\frac{4}{4\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\]

Zadanie 28

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Stożek i walec mają równe wysokości. Promień podstawy stożka jest dwa razy większy od promienia podstawy walca.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Stosunek objętości stożka do objętości walca jest równy

$\frac{1}{12}$

$\frac{1}{6}$

$\frac{2}{3}$

$\frac{4}{3}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie objętości

Oznaczamy promień walca przez r, a wspólną wysokość przez h. Promień stożka wynosi 2r, więc podstawiamy te wielkości do wzorów na objętość.

\[r>0,\quad h>0,\quad V_{\text{stożka}}=\frac{1}{3}\pi(2r)^2h=\frac{4}{3}\pi r^2h,\quad V_{\text{walca}}=\pi r^2h\]

2 Obliczenie stosunku

Dzielimy objętość stożka przez objętość walca i skracamy dodatni czynnik $\pi r^2h$.

\[\frac{V_{\text{stożka}}}{V_{\text{walca}}}=\frac{\frac{4}{3}\pi r^2h}{\pi r^2h}=\frac{4}{3}\]

Odpowiedź

Stosunek wynosi $\frac{4}{3}$. Odpowiedź D.

\[\frac{V_{\text{stożka}}}{V_{\text{walca}}}=\frac{4}{3}\]

Sprawdzenie

Dla promienia walca 1 i wspólnej wysokości 3 promień stożka wynosi 2. Objętości są wtedy równe odpowiednio $3\pi$ i $4\pi$, więc ich stosunek to $\frac{4}{3}$.

\[V_{\text{walca}}=\pi\cdot1^2\cdot3=3\pi,\quad V_{\text{stożka}}=\frac{1}{3}\pi\cdot2^2\cdot3=4\pi,\quad \frac{4\pi}{3\pi}=\frac{4}{3}\]

Zadanie 29

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Kombinatoryka

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 (np.: 321, 555), jest

$6\cdot 7\cdot 3$

$6\cdot 7\cdot 7$

$7\cdot 7\cdot 3$

$7\cdot 7\cdot 7$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wybór cyfr

Cyfra setek nie może być zerem, cyfra dziesiątek może być dowolną z podanych, a cyfra jedności musi być nieparzysta.

\[6\text{ możliwości dla setek},\quad 7\text{ dla dziesiątek},\quad 3\text{ dla jedności }(1,3,5)\]

2 Obliczenie liczby liczb

Wybory cyfr są niezależne, więc mnożymy liczby możliwości.

\[6\cdot 7\cdot 3=126\]

Odpowiedź

Jest 126 takich liczb. Odpowiedź A.

\[6\cdot 7\cdot 3=126\]

Sprawdzenie

Dla każdej z trzech możliwych cyfr jedności jest 6 · 7 = 42 liczb trzycyfrowych. Łącznie daje to 3 · 42 = 126.

\[3\cdot(6\cdot 7)=126\]

Zadanie 30

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Dane są dwa zbiory cyfr: $X=\{1,3,5,7,9\}$ oraz $Y=\{0,2,4,6,8\}$. Losujemy jedną cyfrę ze zbioru $X$, a następnie losujemy jedną cyfrę ze zbioru $Y$. Następnie zapisujemy liczbę dwucyfrową w ten sposób, że cyfra wylosowana ze zbioru $X$ jest cyfrą dziesiątek, a cyfra wylosowana ze zbioru $Y$ jest cyfrą jedności tej liczby dwucyfrowej.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na tym, że otrzymana w ten sposób liczba dwucyfrowa będzie podzielna przez $6$. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba możliwych wyników

Każdą z 5 cyfr dziesiątek można połączyć z każdą z 5 cyfr jedności. Wszystkie pary są jednakowo prawdopodobne.

\[|\Omega|=5\cdot5=25\]

2 Warunek podzielności przez 6

Liczba jest podzielna przez 6, gdy jest podzielna przez 2 i przez 3. Cyfra jedności zawsze pochodzi ze zbioru cyfr parzystych, więc wystarczy sprawdzić sumę cyfr.

\[6\mid(10x+y)\iff 3\mid(x+y)\]

3 Policzenie wyników sprzyjających

Dobieramy cyfry tak, aby ich suma była podzielna przez 3. Dla cyfr dziesiątek 1 i 7 są po 2 możliwości, dla 3 i 9 po 2, a dla 5 jedna.

\[|A|=2\cdot2+2\cdot2+1\cdot1=9\]

4 Obliczenie prawdopodobieństwa

Dzielimy liczbę wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich wyników.

\[P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{9}{25}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo wynosi 9/25.

\[P(A)=\frac{9}{25}\]

Sprawdzenie

Otrzymujemy dokładnie 9 liczb podzielnych przez 6: 12, 18, 30, 36, 54, 72, 78, 90 i 96. Każda ma dozwolone cyfry i jest wielokrotnością 6.

\[12,18,30,36,54,72,78,90,96\]

Zadanie 31

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Nauczyciel matematyki po każdym sprawdzianie porównuje wyniki uzyskane przez uczniów dwóch klas: klasy IV A oraz klasy IV B. Na dwóch poniższych diagramach przedstawiono wyniki sprawdzianu ze statystyki, jakie uzyskali uczniowie tych klas. Na osiach poziomych podano oceny, które uzyskali uczniowie tych klas, a na osiach pionowych podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Średnia arytmetyczna ocen uzyskanych ze sprawdzianu ze statystyki przez uczniów klasy IV A jest równa średniej arytmetycznej ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów klasy IV B.	P	F
Mediana ocen uzyskanych ze sprawdzianu ze statystyki przez uczniów klasy IV A jest równa medianie ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów klasy IV B.	P	F

Diagram słupkowy wyników klasy IV A. Oś pozioma: ocena od 1 do 6. Oś pionowa: liczba uczniów od 0 do 7. Liczby uczniów dla ocen 1–6: 1, 6, 3, 3, 6, 1.

Diagram słupkowy wyników klasy IV B. Oś pozioma: ocena od 1 do 6. Oś pionowa: liczba uczniów od 0 do 7. Liczby uczniów dla ocen 1–6: 1, 3, 6, 6, 3, 1.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczyt liczby ocen

Z diagramów odczytujemy liczby uczniów dla kolejnych ocen od 1 do 6. W każdej klasie jest 20 uczniów.

\[A:(1,6,3,3,6,1),\quad B:(1,3,6,6,3,1),\quad n_A=n_B=20\]

2 Obliczenie średnich

Mnożymy każdą ocenę przez liczbę uczniów, którzy ją otrzymali, a sumę dzielimy przez 20. W obu klasach suma ocen wynosi 70.

\[\overline{x}_A=\frac{1+2\cdot6+3\cdot3+4\cdot3+5\cdot6+6}{20}=\frac{70}{20}=3{,}5,\quad \overline{x}_B=\frac{1+2\cdot3+3\cdot6+4\cdot6+5\cdot3+6}{20}=\frac{70}{20}=3{,}5\]

3 Wyznaczenie median

Przy 20 ocenach mediana jest średnią ocen na miejscach 10. i 11. W klasie IV A oceny 3 zajmują miejsca 8–10, a w IV B miejsca 5–10. W obu klasach na miejscu 11. jest ocena 4.

\[M_A=M_B=\frac{3+4}{2}=3{,}5\]

Odpowiedź

Pierwsze stwierdzenie: P. Drugie stwierdzenie: P.

\[\overline{x}_A=\overline{x}_B=3{,}5,\qquad M_A=M_B=3{,}5\]

Sprawdzenie

Liczebności obu klas wynoszą 20. W każdej klasie liczby ocen 1 i 6, 2 i 5 oraz 3 i 4 są równe, więc średnia każdej takiej pary wynosi 3,5. Po uporządkowaniu ocen środkowe miejsca zajmują 3 i 4, co potwierdza obie mediany.

\[\frac{1+6}{2}=\frac{2+5}{2}=\frac{3+4}{2}=3{,}5\]

Zadanie 32

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Średnia arytmetyczna trzech liczb: $a,\ b,\ c$, jest równa $2$. Średnia arytmetyczna czterech liczb: $d,\ e,\ f,\ g$, jest równa $5{,}5$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Średnia arytmetyczna siedmiu liczb: $a,\ b,\ c,\ d,\ e,\ f,\ g$, jest równa

$3{,}5$

$3{,}75$

$4$

$4{,}25$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie sum

Mnożymy każdą średnią przez liczbę składników, aby otrzymać sumę liczb w danej grupie.

\[a+b+c=3\cdot2=6,\qquad d+e+f+g=4\cdot5{,}5=22\]

2 Średnia siedmiu liczb

Dodajemy obie sumy i dzielimy wynik przez 7.

\[\frac{a+b+c+d+e+f+g}{7}=\frac{6+22}{7}=4\]

Odpowiedź

Średnia wynosi 4. Odpowiedź C.

\[4\]

Sprawdzenie

Siedem liczb o średniej 4 ma sumę 28; tyle samo wynosi suma obu danych grup: 6+22=28.

\[7\cdot4=28=6+22\]

Zadanie 33.1

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

W chwili $t=0$ z poziomu ziemi wyrzucono piłeczkę pionowo do góry. Przyjmijmy, że wysokość $h$, na której znajduje się piłeczka w danej chwili $t$, jest określona wzorem

\[h(t)=-4{,}9t^2+14{,}7t\]

gdzie:

czas $t$ jest wyrażony w sekundach (s) i zmienia się od $0$ do chwili pierwszego uderzenia piłeczki o ziemię
wysokość $h$ jest wyrażona w metrach i jest liczona względem poziomu ziemi.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wyrzucona piłeczka po raz pierwszy uderzy w ziemię w chwili

$t=1{,}5\ \mathrm{s}$

$t=2\ \mathrm{s}$

$t=2{,}5\ \mathrm{s}$

$t=3\ \mathrm{s}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie chwil na poziomie ziemi

Piłeczka jest na poziomie ziemi, gdy jej wysokość wynosi zero. Wyłączamy wspólny czynnik, aby rozwiązać równanie.

\[-4{,}9t^2+14{,}7t=0\iff -4{,}9t(t-3)=0\iff t=0\ \text{lub}\ t=3\]

2 Wybór chwili uderzenia

Chwila 0 s oznacza wyrzut piłeczki. Pierwsze późniejsze zetknięcie z ziemią następuje po 3 s.

\[t=3\ \mathrm{s}\]

Odpowiedź

D. Piłeczka uderzy w ziemię po raz pierwszy po 3 s.

\[t=3\ \mathrm{s}\]

Sprawdzenie

Dla 3 s wysokość wynosi 0 m. Dla każdej chwili między 0 s a 3 s wysokość jest dodatnia, więc wcześniej piłeczka nie uderza w ziemię.

\[h(3)=-4{,}9\cdot 3^2+14{,}7\cdot 3=0\ \mathrm{m},\qquad h(t)=4{,}9t(3-t)>0\ \text{dla}\ 0<t<3\]

Zadanie 33.2

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

W chwili $t=0$ z poziomu ziemi wyrzucono piłeczkę pionowo do góry. Przyjmijmy, że wysokość $h$, na której znajduje się piłeczka w danej chwili $t$, jest określona wzorem \[h(t)=-4{,}9t^2+14{,}7t\] gdzie:

czas $t$ jest wyrażony w sekundach (s) i zmienia się od $0$ do chwili pierwszego uderzenia piłeczki o ziemię
wysokość $h$ jest wyrażona w metrach i jest liczona względem poziomu ziemi.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wyrzucona piłeczka osiągnęła największą wysokość w chwili

$t=1{,}5\ \mathrm{s}$

$t=2\ \mathrm{s}$

$t=2{,}5\ \mathrm{s}$

$t=3\ \mathrm{s}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustalenie przedziału czasu

Ruch trwa do pierwszego ponownego uderzenia piłeczki o ziemię, więc wyznaczamy chwilę, w której wysokość znów wynosi zero.

\[-4{,}9t^2+14{,}7t=0\quad\Longleftrightarrow\quad 4{,}9t(3-t)=0\quad\Longleftrightarrow\quad t=0\ \text{lub}\ t=3\]

2 Wyznaczenie chwili największej wysokości

Wykres wysokości jest parabolą skierowaną ramionami w dół. Jej wierzchołek wyznacza maksimum i leży w środku przedziału między miejscami zerowymi.

\[t_{\max}=\frac{0+3}{2}=1{,}5\ \mathrm{s}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A. Piłeczka osiągnęła największą wysokość po 1,5 s.

\[t=1{,}5\ \mathrm{s}\]

Sprawdzenie

Chwila 1,5 s należy do przedziału ruchu od 0 do 3 s. Wtedy wysokość wynosi 11,025 m, a na obu końcach przedziału wynosi 0 m; ponieważ parabola jest skierowana w dół, jest to największa wysokość.

\[h(1{,}5)=-4{,}9\cdot(1{,}5)^2+14{,}7\cdot1{,}5=11{,}025\ \mathrm{m},\qquad h(0)=h(3)=0\]

Liczba naturalna \(4^{12}\cdot 5^{24}\) jest podzielna przez \(20\).	P	F
Liczba naturalna \(4^{12}\cdot 5^{24}\) jest w zapisie dziesiętnym liczbą 25-cyfrową.	P	F

Współczynnik \(a\) we wzorze funkcji \(f\) jest liczbą dodatnią.	P	F
Współczynnik \(b\) we wzorze funkcji \(f\) jest liczbą dodatnią.	P	F

Punkt \(A=(4,-7)\) leży na okręgu \(\mathcal{O}\).	P	F
Okrąg \(\mathcal{O}\) jest określony równaniem \((x-1)^2+(y+3)^2=5\).	P	F