Otwarte2 pkt
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej \(n\) liczba \(7n^2+21n\) jest podzielna przez \(14\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Wyłącz 7 przed nawias
Aby wykazać podzielność przez 14, wystarczy wykazać, że pozostały czynnik jest parzysty.
\[7n^2+21n=7n(n+3)\]
2 Wykaż parzystość iloczynu
Liczby całkowite n i n+3 mają różną parzystość, więc jedna z nich jest parzysta. Ich iloczyn można zatem zapisać jako 2k dla pewnej liczby całkowitej k.
\[n(n+3)=2k\quad(k\in\mathbb{Z})\]
3 Zapisz liczbę jako wielokrotność 14
Po podstawieniu otrzymujemy liczbę podzielną przez 14.
\[7n^2+21n=7\cdot2k=14k\]
Odpowiedź
Dla każdej liczby całkowitej n liczba 7n²+21n jest podzielna przez 14.
\[14\mid(7n^2+21n)\quad\text{dla każdego }n\in\mathbb{Z}\]
Sprawdzenie
Jeśli n jest parzyste, parzysty jest czynnik n. Jeśli n jest nieparzyste, parzysty jest czynnik n+3. Obejmuje to każdą liczbę całkowitą, więc w obu przypadkach n(n+3) jest parzyste.
\[n\equiv0\pmod 2\ \lor\ n+3\equiv0\pmod 2\]