Otwarte1 pkt
Ciąg geometryczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). Wyrazy trzeci i szósty tego ciągu spełniają warunek \(a_3\cdot a_6=18\).
Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.
Iloczyn \(a_2\cdot a_7\) jest równy ……… .
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Zapisz wyrazy ciągu
W ciągu geometrycznym każdy wyraz ma postać \(a_n=a_1q^{n-1}\).
\[a_3a_6=(a_1q^2)(a_1q^5)=a_1^2q^7=18\]
2 Oblicz szukany iloczyn
Suma wykładników dla wyrazów drugiego i siódmego również wynosi \(7\), więc ich iloczyn jest taki sam.
\[a_2a_7=(a_1q)(a_1q^6)=a_1^2q^7=18\]
Odpowiedź
W wykropkowanym miejscu należy wpisać 18.
\[a_2a_7=18\]
Sprawdzenie
W obu iloczynach czynnikami są dwa razy \(a_1\), a wykładniki ilorazu sumują się do \(7\): odpowiednio \(2+5\) i \(1+6\). Zatem oba iloczyny są równe dla każdego ciągu spełniającego podany warunek.
\[a_3a_6=a_1^2q^{2+5}=a_1^2q^{1+6}=a_2a_7=18\]