Zamknięte1 pkt
Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym bok \(AC\) jest przeciwprostokątną oraz \(|BC|=2\) i \(|AC|=2\sqrt{10}\). Oznaczmy kąt \(BCA\) przez \(\gamma\) (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Sinus kąta \(\gamma\) jest równy
A
\(\frac{1}{\sqrt{10}}\)
B
\(\frac{1}{3}\)
C
\(\frac{3}{\sqrt{10}}\)
D
\(\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{11}}\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Obliczenie boku AB
Ponieważ AC jest przeciwprostokątną, z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość boku leżącego naprzeciw kąta γ.
\[|AB|^2=|AC|^2-|BC|^2=(2\sqrt{10})^2-2^2=40-4=36,\quad |AB|=6\]
2 Obliczenie sinusa
Sinus kąta ostrego to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw niego do długości przeciwprostokątnej.
\[\sin\gamma=\frac{|AB|}{|AC|}=\frac{6}{2\sqrt{10}}=\frac{3}{\sqrt{10}}\]
Odpowiedź
Poprawna odpowiedź: C.
\[\sin\gamma=\frac{3}{\sqrt{10}}\]
Sprawdzenie
Dla tego kąta cosinus wynosi 1/√10. Suma kwadratów otrzymanego sinusa i cosinusa jest równa 1.
\[\cos\gamma=\frac{2}{2\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{10}},\quad \left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)^2=\frac{9}{10}+\frac{1}{10}=1\]