Zadanie 33.2 — matura 2026, maj | Matematyka podstawowa, F-2023

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

W chwili \(t=0\) z poziomu ziemi wyrzucono piłeczkę pionowo do góry. Przyjmijmy, że wysokość \(h\), na której znajduje się piłeczka w danej chwili \(t\), jest określona wzorem \[h(t)=-4{,}9t^2+14{,}7t\] gdzie:

czas \(t\) jest wyrażony w sekundach (s) i zmienia się od \(0\) do chwili pierwszego uderzenia piłeczki o ziemię
wysokość \(h\) jest wyrażona w metrach i jest liczona względem poziomu ziemi.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wyrzucona piłeczka osiągnęła największą wysokość w chwili

\(t=1{,}5\ \mathrm{s}\)

\(t=2\ \mathrm{s}\)

\(t=2{,}5\ \mathrm{s}\)

\(t=3\ \mathrm{s}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustalenie przedziału czasu

Ruch trwa do pierwszego ponownego uderzenia piłeczki o ziemię, więc wyznaczamy chwilę, w której wysokość znów wynosi zero.

\[-4{,}9t^2+14{,}7t=0\quad\Longleftrightarrow\quad 4{,}9t(3-t)=0\quad\Longleftrightarrow\quad t=0\ \text{lub}\ t=3\]

2 Wyznaczenie chwili największej wysokości

Wykres wysokości jest parabolą skierowaną ramionami w dół. Jej wierzchołek wyznacza maksimum i leży w środku przedziału między miejscami zerowymi.

\[t_{\max}=\frac{0+3}{2}=1{,}5\ \mathrm{s}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A. Piłeczka osiągnęła największą wysokość po 1,5 s.

\[t=1{,}5\ \mathrm{s}\]

Sprawdzenie

Chwila 1,5 s należy do przedziału ruchu od 0 do 3 s. Wtedy wysokość wynosi 11,025 m, a na obu końcach przedziału wynosi 0 m; ponieważ parabola jest skierowana w dół, jest to największa wysokość.

\[h(1{,}5)=-4{,}9\cdot(1{,}5)^2+14{,}7\cdot1{,}5=11{,}025\ \mathrm{m},\qquad h(0)=h(3)=0\]