Otwarte2 pkt
Rozwiąż nierówność \(3x^2+4x\geq 6x+8\).
Zapisz obliczenia.
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Przenieś wyrazy na jedną stronę
Odejmujemy \(6x+8\) od obu stron, aby porównać trójmian z zerem.
\[3x^2+4x\geq 6x+8\iff 3x^2-2x-8\geq 0\]
2 Rozłóż trójmian na czynniki
Iloczyn pozwala wyznaczyć miejsca zerowe i znak wyrażenia.
\[3x^2-2x-8=(3x+4)(x-2),\qquad x_1=-\frac{4}{3},\quad x_2=2\]
3 Wyznacz przedziały rozwiązania
Iloczyn jest nieujemny, gdy oba czynniki mają ten sam znak. Włączamy miejsca zerowe, ponieważ nierówność jest nieostra.
\[(3x+4)(x-2)\geq 0\iff x\leq-\frac{4}{3}\ \text{lub}\ x\geq 2\]
Odpowiedź
Rozwiązaniem jest suma dwóch przedziałów.
\[x\in\left(-\infty,-\frac{4}{3}\right]\cup[2,\infty)\]
Sprawdzenie
Dla obu końców przedziałów iloczyn wynosi zero. Dla \(x=0\), leżącego między miejscami zerowymi, wynosi \(-8<0\); poza nimi czynniki mają jednakowe znaki, więc iloczyn jest dodatni.
\[(3x+4)(x-2)=0\ \text{dla}\ x=-\frac{4}{3}\ \text{i}\ x=2;\qquad (3\cdot0+4)(0-2)=-8<0\]