Zamknięte1 pkt
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) punkty \(A=(0,-3)\), \(B=(2,1)\) oraz \(C=(0,2)\) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Środek okręgu opisanego na trójkącie \(ABC\) ma współrzędne
A
\(\left(\frac{2}{3},0\right)\)
B
\(\left(-\frac{1}{2},0\right)\)
C
\(\left(0,-\frac{2}{3}\right)\)
D
\(\left(0,-\frac{1}{2}\right)\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Wyznaczenie przeciwprostokątnej
Iloczyn skalarny wektorów wychodzących z punktu B jest równy zeru, więc kąt przy B jest prosty, a przeciwprostokątną jest AC.
\[\overrightarrow{BA}=(-2,-4),\quad \overrightarrow{BC}=(-2,1),\quad (-2)(-2)+(-4)\cdot1=0\]
2 Wyznaczenie środka okręgu
W trójkącie prostokątnym środek okręgu opisanego jest środkiem przeciwprostokątnej. Obliczamy więc środek odcinka AC.
\[S=\left(\frac{0+0}{2},\frac{-3+2}{2}\right)=\left(0,-\frac12\right)\]
Odpowiedź
Odpowiedź D: środek okręgu ma współrzędne (0, −1/2).
\[S=\left(0,-\frac12\right)\]
Sprawdzenie
Punkt S jest jednakowo odległy od wszystkich trzech wierzchołków: kwadraty odległości wynoszą 25/4.
\[SA^2=SC^2=\left(\frac52\right)^2=\frac{25}{4},\qquad SB^2=2^2+\left(\frac32\right)^2=\frac{25}{4}\]