Zadanie 12.2 — matura 2026, maj | Matematyka podstawowa, F-2023

Zadanie 12.2

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Funkcje

Funkcja \(f\) jest określona następująco:

\[f(x)=\begin{cases}x+2 & \text{dla } x\in[-4,2],\\-x+5 & \text{dla } x\in(2,5).\end{cases}\]

Wykres funkcji \(y=f(x)\) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) na rysunku poniżej.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział ………………… .
Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja \(f\) przyjmuje wartości większe od \(1\), jest przedział ………………… .

Wykres funkcji y=f(x) w układzie współrzędnych, z oznaczonymi końcami odcinków.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zbiór wartości

Pierwsza część funkcji rośnie od wartości −2 do 4, a druga przyjmuje wartości od 0 do 3 bez końców. Razem daje to przedział od −2 do 4 z oboma końcami.

\[f([-4,2])=[-2,4],\quad f((2,5))=(0,3),\quad W_f=[-2,4]\]

2 Wartości większe od 1

Rozwiązujemy nierówność osobno dla każdego wzoru i uwzględniamy jego dziedzinę. Następnie łączymy otrzymane przedziały.

\[\begin{aligned}x+2>1&\iff x>-1 &&\Rightarrow x\in(-1,2],\\-x+5>1&\iff x<4 &&\Rightarrow x\in(2,4).\end{aligned}\quad (-1,2]\cup(2,4)=(-1,4)\]

Odpowiedź

1. Zbiór wartości: [−2, 4]. 2. Argumenty, dla których f(x) > 1: (−1, 4).

\[W_f=[-2,4],\qquad \{x:f(x)>1\}=(-1,4)\]

Sprawdzenie

Wartości −2 i 4 są osiągane odpowiednio dla x = −4 i x = 2. Na granicach drugiego przedziału argumentów, x = −1 i x = 4, funkcja ma wartość 1, więc nie należą one do rozwiązania nierówności.

\[f(-4)=-2,\quad f(2)=4,\quad f(-1)=1,\quad f(4)=1\]