Zamknięte1 pkt
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
| Liczba naturalna \(4^{12}\cdot 5^{24}\) jest podzielna przez \(20\). | P | F |
| Liczba naturalna \(4^{12}\cdot 5^{24}\) jest w zapisie dziesiętnym liczbą 25-cyfrową. | P | F |
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Uproszczenie liczby
Zapisujemy 4 jako kwadrat 2 i łączymy potęgi o tym samym wykładniku.
\[4^{12}\cdot5^{24}=2^{24}\cdot5^{24}=(2\cdot5)^{24}=10^{24}\]
2 Podzielność przez 20
Wyłączamy czynnik 20. Pozostały czynnik jest liczbą całkowitą, więc pierwsze stwierdzenie jest prawdziwe.
\[10^{24}=20\cdot(5\cdot10^{22})\]
3 Liczba cyfr
Potęga \(10^{24}\) to 1 i 24 zera, czyli liczba 25-cyfrowa. Drugie stwierdzenie też jest prawdziwe.
\[10^{24}=1\underbrace{00\ldots0}_{24\text{ zera}}\]
Odpowiedź
Pierwsze stwierdzenie: P. Drugie stwierdzenie: P.
\[\mathrm{P},\ \mathrm{P}\]
Sprawdzenie
Iloraz przez 20 jest całkowity. Ponadto liczba leży od \(10^{24}\) do \(10^{25}-1\), więc ma dokładnie 25 cyfr.
\[\frac{10^{24}}{20}=5\cdot10^{22}\in\mathbb{N},\qquad 10^{24}\leqslant10^{24}<10^{25}\]