Zadanie 14 — matura 2026, maj | Matematyka podstawowa, F-2023

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) wykresem funkcji kwadratowej \(f\) jest parabola o wierzchołku w punkcie \(W=(3,-2)\). Funkcja kwadratowa \(g\) jest określona za pomocą funkcji \(f\) wzorem \(g(x)=f(x+1)\). Jednym z miejsc zerowych funkcji \(g\) jest liczba \(0\).

Wyznacz wzór funkcji \(f\) w postaci ogólnej. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Postać kanoniczna

Wierzchołek paraboli ma współrzędne \(W=(3,-2)\), więc zapisujemy funkcję w postaci kanonicznej.

\[f(x)=a(x-3)^2-2\]

2 Wyznaczenie współczynnika

Skoro \(0\) jest miejscem zerowym funkcji \(g\), to \(g(0)=f(1)=0\). Podstawiamy \(x=1\), aby obliczyć \(a\).

\[0=a(1-3)^2-2=4a-2\quad\Longrightarrow\quad a=\frac12\]

3 Postać ogólna

Rozwijamy kwadrat i porządkujemy wyrazy.

\[f(x)=\frac12(x-3)^2-2=\frac12(x^2-6x+9)-2=\frac12x^2-3x+\frac52\]

Odpowiedź

Wzór funkcji f w postaci ogólnej to:

\[f(x)=\frac12x^2-3x+\frac52\]

Sprawdzenie

Po zapisaniu otrzymanej funkcji w postaci kanonicznej widać, że jej wierzchołek to \(W=(3,-2)\). Ponadto \(g(0)=f(1)=0\), więc podane miejsce zerowe się zgadza.

\[f(x)=\frac12(x-3)^2-2,\qquad g(0)=f(1)=\frac12(1-3)^2-2=0\]