Otwarte3 pkt
Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=3n+5\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). Trzywyrazowy ciąg \((a_1,a_9,a_k)\) jest geometryczny.
Oblicz \(k\). Zapisz obliczenia.
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Obliczenie znanych wyrazów
Podstawiamy indeksy 1 i 9 do wzoru ciągu.
\[a_1=3\cdot1+5=8,\qquad a_9=3\cdot9+5=32\]
2 Wyznaczenie trzeciego wyrazu
W ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu jest iloczynem wyrazów skrajnych.
\[a_9^2=a_1a_k,\qquad 32^2=8a_k,\qquad a_k=128\]
3 Obliczenie indeksu
Korzystamy ze wzoru na wyraz o indeksie k.
\[3k+5=128,\qquad 3k=123,\qquad k=41\]
Odpowiedź
k = 41
\[k=41\]
Sprawdzenie
Dla k = 41 trzeci wyraz wynosi 128. Ilorazy kolejnych wyrazów są równe 4, a indeks 41 jest liczbą naturalną większą od 1.
\[a_{41}=3\cdot41+5=128,\qquad \frac{32}{8}=\frac{128}{32}=4\]