Otwarte2 pkt
Dany jest trójkąt \(KLM\), w którym \(|KM|=a\) oraz \(|LM|=b\). Dwusieczna kąta \(LMK\) przecina bok \(KL\) w punkcie \(N\) (zobacz rysunek).
Wykaż, że stosunek pola trójkąta \(KNM\) do pola trójkąta \(NLM\) jest równy \(\frac{a}{b}\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Oznaczenie równych kątów
Odcinek MN jest dwusieczną kąta przy wierzchołku M, więc oba powstałe kąty mają tę samą miarę.
\[\angle KMN=\angle NML=\alpha\]
2 Obliczenie stosunku pól
Stosujemy wzór na pole z dwóch boków i kąta między nimi. W obu polach występują ten sam bok MN i ten sam sinus kąta, więc te czynniki się skracają.
\[\frac{P_{KNM}}{P_{NLM}}=\frac{\frac12\,a\cdot |MN|\sin\alpha}{\frac12\,b\cdot |MN|\sin\alpha}=\frac{a}{b}\]
Odpowiedź
Stosunek pola trójkąta KNM do pola trójkąta NLM wynosi \(\frac{a}{b}\).
\[\frac{P_{KNM}}{P_{NLM}}=\frac{a}{b}\]
Sprawdzenie
W trójkącie niedegenerowanym \(|MN|>0\) i \(\sin\alpha>0\), więc skrócenie wspólnych czynników jest poprawne.
\[\frac12|MN|\sin\alpha>0\]