Otwarte2 pkt
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym przekątna podstawy ma długość \(8\sqrt{3}\). Krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(30^\circ\).
Oblicz objętość tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Wyznaczenie wysokości
W ostrosłupie prawidłowym wysokość pada na środek podstawy. Rzut krawędzi bocznej na podstawę ma długość równą połowie przekątnej kwadratu, więc korzystamy z tangensa kąta nachylenia.
\[h=\frac{8\sqrt{3}}{2}\cdot\tan 30^\circ=4\sqrt{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=4\]
2 Obliczenie pola podstawy
Pole kwadratu o przekątnej d wynosi \(\frac{d^2}{2}\).
\[P_p=\frac{(8\sqrt{3})^2}{2}=96\]
3 Obliczenie objętości
Objętość ostrosłupa to jedna trzecia iloczynu pola podstawy i wysokości.
\[V=\frac{1}{3}P_ph=\frac{1}{3}\cdot96\cdot4=128\]
Odpowiedź
Objętość ostrosłupa wynosi 128 jednostek sześciennych.
\[V=128\]
Sprawdzenie
Wysokość jest dodatnia, a stosunek wysokości do połowy przekątnej podstawy daje wymagany kąt 30°.
\[\tan 30^\circ=\frac{4}{4\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\]