Zamknięte1 pkt
Kąt \(\alpha\) jest ostry i spełnia warunek \(\frac{3\sin\alpha+4\cos\alpha}{4\cos\alpha}=6\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Tangens kąta \(\alpha\) jest równy
A
\(\frac{5}{8}\)
B
\(\frac{8}{3}\)
C
\(\frac{32}{5}\)
D
\(\frac{20}{3}\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Przekształcenie równania
Mnożymy obie strony przez \(4\cos\alpha\), a następnie przenosimy wyraz z cosinusem na prawą stronę.
\[3\sin\alpha+4\cos\alpha=24\cos\alpha\quad\Rightarrow\quad 3\sin\alpha=20\cos\alpha\]
2 Obliczenie tangensa
Kąt jest ostry, więc \(\cos\alpha>0\). Dzielimy przez \(3\cos\alpha\) i korzystamy z definicji tangensa.
\[\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{20}{3}\]
Odpowiedź
D. Tangens kąta α jest równy 20/3.
\[\tan\alpha=\frac{20}{3}\]
Sprawdzenie
Dla kąta ostrego o tangensie 20/3 mamy sinus 20/√409 i cosinus 3/√409. Po podstawieniu do warunku otrzymujemy 6.
\[\frac{3\cdot\frac{20}{\sqrt{409}}+4\cdot\frac{3}{\sqrt{409}}}{4\cdot\frac{3}{\sqrt{409}}}=\frac{72}{12}=6\]