Matematyka — matura 2024

Liczba \(2^{-1}\cdot 32^{\frac{3}{5}}\) jest równa

Liczba \(\log_3\left(\frac{3}{2}\right)+\log_3\left(\frac{2}{9}\right)\) jest równa

Liczba \(\left(2\sqrt{10}+\sqrt{2}\right)^2\) jest równa

Dane są dwa prostokąty: \(\mathcal{P}_1\) oraz \(\mathcal{P}_2\).
Długości boków prostokąta \(\mathcal{P}_1\) są równe \(a\) oraz \(b\).
Długości boków prostokąta \(\mathcal{P}_2\) są równe \(0{,}2a\) oraz \(8b\).

Pole prostokąta \(\mathcal{P}_1\) stanowi

Klient wpłacił do banku na trzyletnią lokatę kwotę w wysokości \(K_0\) zł. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości \(6\%\) od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie – zgodnie z procentem składanym.

Po trzech latach oszczędzania w tym banku kwota na lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa

Liczba wszystkich całkowitych dodatnich rozwiązań nierówności \(\frac{3x-5}{12}<\frac{1}{3}\) jest równa

Układ równań \(\begin{cases}x-2y=3\\-4x+8y=-12\end{cases}\)

Jednym z rozwiązań równania \(\frac{3x\cdot(2x+8)}{x-2}=0\) jest liczba

Funkcja \(y=f(x)\) jest określona za pomocą tabeli.

Wskaż zdanie prawdziwe.

Liczba \(2\) jest miejscem zerowym funkcji liniowej \(f(x)=(3-m)x+4\).

Liczba \(m\) jest równa

Informacja do zadań 11.–13.

Na rysunku 1., w układzie współrzędnych \((x,y)\), przedstawiono wykres funkcji \(f\).

Największa wartość funkcji \(f\) jest równa

Na rysunku 1., w układzie współrzędnych \((x,y)\), przedstawiono wykres funkcji \(f\).

Funkcja \(f\) jest malejąca w zbiorze

Na rysunku 1., w układzie współrzędnych \((x,y)\), przedstawiono wykres funkcji \(f\).

Na rysunku 2., w układzie współrzędnych \((x,y)\), przedstawiono wykres funkcji \(g\), powstałej w wyniku przesunięcia równoległego wykresu funkcji \(f\) wzdłuż osi \(Ox\) o \(4\) jednostki w lewo.

Funkcje \(f\) i \(g\) są powiązane zależnością

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=-(x+1)^2+4\).

Fragment wykresu funkcji \(y=f(x)\) przedstawiono na rysunku

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=2\cdot(-1)^{n+1}+5\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\).

Suma dziesięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\), dane są wyrazy: \(a_1=7\) oraz \(a_2=13\).

Wyraz \(a_{10}\) jest równy

Trzywyrazowy ciąg \((-1,\ 2,\ x)\) jest arytmetyczny.

Trzywyrazowy ciąg \((-1,\ 2,\ y)\) jest geometryczny.

Liczby \(x\) oraz \(y\) spełniają warunki

Liczba \(1+\cos^2 27^\circ\) jest równa

Podstawy trapezu prostokątnego \(ABCD\) mają długości: \(|AB|=8\) oraz \(|CD|=5\). Wysokość \(AD\) tego trapezu ma długość \(\sqrt{3}\) (zobacz rysunek).

Miara kąta ostrego \(ABC\) jest równa

Punkty \(A\), \(B\) oraz \(C\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(S\). Długość łuku \(AB\), na którym jest oparty kąt wpisany \(ACB\), jest równa \(\frac{1}{5}\) długości okręgu (zobacz rysunek).

Miara kąta ostrego \(ACB\) jest równa

Proste \(k\) oraz \(l\) są określone równaniami

\(k:\ y=(3m+1)x+2\)

\(l:\ y=-4x+(2m+5)\)

Proste \(k\) oraz \(l\) są równoległe, gdy liczba \(m\) jest równa

Dana jest prosta o równaniu \(y=-3x+1\).

Obrazem tej prostej w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych jest prosta o równaniu

Przekątna ściany sześcianu ma długość \(2\sqrt{2}\).

Objętość tego sześcianu jest równa

Podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości \(4\). Przekątna tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\alpha\) takim, że \(\operatorname{tg}\alpha=2\) (zobacz rysunek).

Wysokość tego graniastosłupa jest równa

Ostrosłup prawidłowy ma \(2024\) ściany boczne.

Liczba wszystkich krawędzi tego ostrosłupa jest równa

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny \(ABCDS\) o podstawie \(ABCD\). Długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa jest równa \(4\). Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest równe \(56\).

Wysokość ściany bocznej poprowadzona z wierzchołka \(S\) do krawędzi podstawy \(AB\) tego ostrosłupa jest równa

Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.

Średnia arytmetyczna ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa

Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry \(2\), \(4\), \(7\) (np. \(7272\), \(2222\), \(7244\)), jest

W pudełku znajdują się wyłącznie kule białe i czarne. Kul czarnych jest \(18\). Z tego pudełka w sposób losowy wyciągamy jedną kulę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wyciągniemy kulę czarną, jest równe \(\frac{3}{5}\).

Liczba kul białych w pudełku, przed wyciągnięciem jednej kuli, była równa

Rozwiąż nierówność

\(x(3x-1)+4<7x\)

Parabola, która jest wykresem funkcji kwadratowej \(f\), ma z osiami układu współrzędnych \((x,y)\) dokładnie dwa punkty wspólne: \(M=(0,18)\) oraz \(N=(3,0)\).

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej \(f\).

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq 1\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) prawdziwa jest nierówność

\[x^2+49y^2>2(x+7y-1)\]

Bok kwadratu \(ABCD\) ma długość równą 12. Punkt \(S\) jest środkiem boku \(BC\) tego kwadratu. Na odcinku \(AS\) leży punkt \(P\) taki, że odcinek \(BP\) jest prostopadły do odcinka \(AS\).

Oblicz długość odcinka \(BP\).

Trzywyrazowy ciąg \((4x^2-1,\ 2x^2+1,\ 1-x)\) jest arytmetyczny.

Oblicz \(x\).

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że w pierwszym rzucie wypadnie większa liczba oczek niż w drugim rzucie.

W układzie współrzędnych \((x,y)\) dane są punkty \(A=(2,8)\) oraz \(B=(10,2)\). Symetralna odcinka \(AB\) przecina oś \(Ox\) układu współrzędnych w punkcie \(P\).

Oblicz współrzędne punktu \(P\) oraz obwód trójkąta \(ABP\).