Zamknięte1 pkt
Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=2\cdot(-1)^{n+1}+5\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\).
Suma dziesięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa
A
\(3\)
B
\(7\)
C
\(50\)
D
\(100\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Wyznaczenie wyrazów parzystych i nieparzystych
Potęga liczby −1 zmienia znak zależnie od parzystości wykładnika, więc wyrazy ciągu mają naprzemiennie wartości 7 i 3.
\[a_{2k-1}=2\cdot(-1)^{2k}+5=7,\qquad a_{2k}=2\cdot(-1)^{2k+1}+5=3\]
2 Obliczenie sumy
Wśród dziesięciu początkowych wyrazów jest pięć par, a suma każdej pary wynosi 10.
\[a_1+a_2+\ldots+a_{10}=5\cdot(7+3)=50\]
Odpowiedź
Suma wynosi 50. Odpowiedź C.
\[50\]
Sprawdzenie
Pierwszych dziesięć wyrazów to pięć siódemek i pięć trójek, zatem ich suma wynosi 35+15=50.
\[5\cdot7+5\cdot3=35+15=50\]