Otwarte2 pkt
Rozwiąż nierówność
\(x(3x-1)+4<7x\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Uporządkowanie nierówności
Rozwijamy nawias i przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę, aby otrzymać nierówność kwadratową.
\[x(3x-1)+4<7x\iff 3x^2-8x+4<0\]
2 Rozkład na czynniki
Rozkład pozwala odczytać miejsca zerowe i znak iloczynu.
\[3x^2-8x+4=(3x-2)(x-2),\qquad x=\frac{2}{3}\ \text{lub}\ x=2\]
3 Wyznaczenie przedziału
Iloczyn dwóch czynników jest ujemny między miejscami zerowymi; końce wykluczamy, bo nierówność jest ostra.
\[(3x-2)(x-2)<0\iff \frac{2}{3}<x<2\]
Odpowiedź
Zbiorem rozwiązań jest przedział \(\left(\frac{2}{3},2\right)\).
\[x\in\left(\frac{2}{3},2\right)\]
Sprawdzenie
Dla \(x=1\), należącego do otrzymanego przedziału, lewa strona po przeniesieniu wyrazów wynosi \(-1<0\). W punktach \(\frac{2}{3}\) i \(2\) wynosi zero, więc oba końce są wykluczone. Poza tym przedziałem oba czynniki mają ten sam znak, zatem ich iloczyn jest dodatni.
\[(3\cdot1-2)(1-2)=-1<0\]