Otwarte5 pkt
W układzie współrzędnych \((x,y)\) dane są punkty \(A=(2,8)\) oraz \(B=(10,2)\). Symetralna odcinka \(AB\) przecina oś \(Ox\) układu współrzędnych w punkcie \(P\).
Oblicz współrzędne punktu \(P\) oraz obwód trójkąta \(ABP\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Wyznaczenie punktu P
Punkt P leży na osi Ox, więc ma postać (x,0). Jako punkt symetralnej jest jednakowo odległy od A i B. Porównujemy kwadraty tych odległości.
\[(x-2)^2+(0-8)^2=(x-10)^2+(0-2)^2\;\Longrightarrow\;x^2-4x+68=x^2-20x+104\;\Longrightarrow\;16x=36\;\Longrightarrow\;x=\frac94\]
2 Obliczenie długości boków
Stosujemy wzór na odległość punktów. Ponieważ P leży na symetralnej, długości AP i BP są równe.
\[AB=\sqrt{(10-2)^2+(2-8)^2}=10,\qquad AP=BP=\sqrt{\left(\frac94-2\right)^2+(0-8)^2}=\frac{5\sqrt{41}}4\]
3 Obliczenie obwodu
Dodajemy długości trzech boków trójkąta.
\[O=AB+AP+BP=10+2\cdot\frac{5\sqrt{41}}4=10+\frac{5\sqrt{41}}2\]
Odpowiedź
Punkt P ma współrzędne (9/4, 0), a obwód trójkąta ABP wynosi 10 + 5√41/2.
\[P=\left(\frac94,0\right),\qquad O=10+\frac{5\sqrt{41}}2\]
Sprawdzenie
Punkt P leży na osi Ox. Kwadraty jego odległości od A i B są równe, więc P leży na symetralnej AB; użyty obwód jest sumą długości trzech boków.
\[AP^2=\left(\frac14\right)^2+8^2=\frac{1025}{16},\qquad BP^2=\left(\frac{31}4\right)^2+2^2=\frac{1025}{16}\]