Otwarte2 pkt
Bok kwadratu \(ABCD\) ma długość równą 12. Punkt \(S\) jest środkiem boku \(BC\) tego kwadratu. Na odcinku \(AS\) leży punkt \(P\) taki, że odcinek \(BP\) jest prostopadły do odcinka \(AS\).
Oblicz długość odcinka \(BP\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Długość odcinka AS
Trójkąt ABS jest prostokątny w B. Ponieważ S jest środkiem boku BC, mamy BS=6. Stosujemy twierdzenie Pitagorasa.
\[AS=\sqrt{AB^2+BS^2}=\sqrt{12^2+6^2}=6\sqrt{5}\]
2 Długość odcinka BP
BP jest wysokością trójkąta ABS opuszczoną na przeciwprostokątną AS. Porównujemy dwa wzory na pole tego trójkąta.
\[\frac{AB\cdot BS}{2}=\frac{AS\cdot BP}{2},\qquad BP=\frac{12\cdot6}{6\sqrt{5}}=\frac{12\sqrt{5}}{5}\]
Odpowiedź
Odcinek BP ma długość 12√5/5.
\[BP=\frac{12\sqrt{5}}{5}\]
Sprawdzenie
Z twierdzenia o przyprostokątnej otrzymujemy AP=24/√5. Twierdzenie Pitagorasa w trójkącie ABP daje BP²=144/5, co potwierdza wynik.
\[AP=\frac{AB^2}{AS}=\frac{24}{\sqrt{5}},\qquad BP^2=AB^2-AP^2=144-\frac{576}{5}=\frac{144}{5}\]