Otwarte2 pkt
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq 1\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) prawdziwa jest nierówność
\[x^2+49y^2>2(x+7y-1)\]
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Przenieś wyrazy na jedną stronę
Aby wykazać nierówność, wystarczy sprawdzić, czy różnica jej stron jest dodatnia.
\[x^2+49y^2-2(x+7y-1)=x^2-2x+1+49y^2-14y+1\]
2 Zapisz różnicę jako sumę kwadratów
Korzystamy ze wzoru na kwadrat różnicy. Ponieważ \(x\neq 1\), pierwszy kwadrat jest dodatni, a drugi jest nieujemny.
\[(x-1)^2+(7y-1)^2>0\]
Odpowiedź
Nierówność jest prawdziwa dla każdego \(x\neq 1\) i każdego rzeczywistego \(y\).
\[x^2+49y^2>2(x+7y-1)\]
Sprawdzenie
Różnica stron mogłaby być równa zeru tylko dla \(x=1\) oraz \(y=\frac17\). Warunek \(x\neq 1\) wyklucza ten przypadek.
\[(x-1)^2+(7y-1)^2=0\iff x=1\ \land\ y=\frac17\]