Zamknięte1 pkt
Układ równań \(\begin{cases}x-2y=3\\-4x+8y=-12\end{cases}\)
A
nie ma rozwiązań.
B
ma dokładnie jedno rozwiązanie.
C
ma dokładnie dwa rozwiązania.
D
ma nieskończenie wiele rozwiązań.
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Porównanie równań
Mnożymy pierwsze równanie przez \(-4\), aby sprawdzić, czy drugie wnosi nowy warunek.
\[-4(x-2y)=-4\cdot3\quad\Longrightarrow\quad -4x+8y=-12\]
2 Wyznaczenie rozwiązań
Oba równania opisują tę samą prostą. Dla dowolnej wartości \(y=t\) wyznaczamy \(x\) z pierwszego równania.
\[y=t,\quad x-2t=3\quad\Longrightarrow\quad x=3+2t,\qquad t\in\mathbb{R}\]
Odpowiedź
Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. Odpowiedź D.
\[(x,y)=(3+2t,t),\qquad t\in\mathbb{R}\]
Sprawdzenie
Dla każdego \(t\) otrzymana para spełnia oba równania, więc rzeczywiście daje nieskończenie wiele rozwiązań.
\[(3+2t)-2t=3,\qquad -4(3+2t)+8t=-12\]