Arkusz maturalny

Matematyka — matura 2023

Poziom podstawowyCzerwiecFormuła 2023

Zobacz zadania i rozwiązania 36 zadań z arkusza

ArkuszPobierz PDF KluczPobierz PDF

Zadania z arkusza — rozwiązania krok po kroku

36 zadań · Rozwiń rozwiązanie pod wybranym zadaniem.

Zadanie 1

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich liczb całkowitych dodatnich spełniających nierówność $|x+5|<15$ jest

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Usuń wartość bezwzględną

Nierówność $|a|<15$ oznacza, że $a$ leży między $-15$ a $15$.

\[-15<x+5<15\quad\Longrightarrow\quad -20<x<10\]

2 Policz liczby dodatnie

Dodatnie liczby całkowite z tego przedziału to liczby od 1 do 9.

\[x\in\{1,2,\ldots,9\},\qquad 9-1+1=9\]

Odpowiedź

Jest 9 takich liczb. Odpowiedź A.

\[\boxed{9\text{ — A}}\]

Sprawdzenie

Dla największej z nich, $x=9$, otrzymujemy $|9+5|=14<15$. Następna liczba dodatnia, $x=10$, daje 15, więc już nie spełnia nierówności.

\[|9+5|=14<15,\qquad |10+5|=15\not<15\]

Zadanie 2

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $x$ iloczyn $\sqrt{x}\cdot\sqrt[3]{x}\cdot\sqrt[6]{x}$ jest równy

$x$

$\sqrt[10]{x}$

$\sqrt[18]{x}$

$x^2$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz pierwiastki jako potęgi

Ponieważ $x>0$, każdy pierwiastek można zapisać jako potęgę o wykładniku ułamkowym.

\[\sqrt{x}\cdot\sqrt[3]{x}\cdot\sqrt[6]{x}=x^{\frac12}\cdot x^{\frac13}\cdot x^{\frac16}\]

2 Dodaj wykładniki

Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy wykładniki.

\[x^{\frac12+\frac13+\frac16}=x^{\frac36+\frac26+\frac16}=x^1=x\]

Odpowiedź

Wynik to $x$, czyli odpowiedź A.

\[\boxed{x}\]

Sprawdzenie

Suma wykładników wynosi $1$, więc iloczyn jest równy $x$ dla każdego $x>0$.

\[\frac12+\frac13+\frac16=1\]

Zadanie 3

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Liczby rzeczywiste

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $k$ reszta z dzielenia liczby $49k^2+7k-2$ przez $7$ jest równa $5$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz liczbę w postaci iloraz razy 7 plus reszta

Wyłączamy wielokrotność 7, aby wskazać resztę z dzielenia.

\[49k^2+7k-2=7(7k^2+k-1)+5\]

2 Uzasadnij wartość reszty

Dla całkowitego k liczba 7k²+k−1 jest całkowita, a 5 należy do przedziału od 0 do 6. Zatem reszta wynosi 5.

\[7k^2+k-1\in\mathbb Z,\qquad 0\leq 5<7\]

Odpowiedź

Dla każdej liczby całkowitej k reszta z dzielenia podanej liczby przez 7 jest równa 5.

\[49k^2+7k-2\equiv 5\pmod 7\]

Sprawdzenie

Po rozwinięciu otrzymujemy wyjściową liczbę, a wskazana reszta jest mniejsza od 7.

\[7(7k^2+k-1)+5=49k^2+7k-2,\qquad 0\leq 5<7\]

Zadanie 4

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Klient wpłacił do banku 30 000 zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości 7% od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Po dwóch latach oszczędzania łączna wartość doliczonych odsetek na tej lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa

$2100$ zł

$2247$ zł

$4200$ zł

$4347$ zł

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odsetki po pierwszym roku

Bank nalicza 7% od wpłaconych 30 000 zł. Dodajemy odsetki do kapitału, ponieważ od tej kwoty będą naliczane odsetki w drugim roku.

\[30000\cdot 0{,}07=2100\ \text{zł},\qquad 30000+2100=32100\ \text{zł}\]

2 Odsetki po drugim roku

W drugim roku podstawą naliczenia odsetek jest kapitał powiększony po pierwszym roku.

\[32100\cdot 0{,}07=2247\ \text{zł}\]

3 Suma odsetek

Dodajemy odsetki z obu lat.

\[2100+2247=4347\ \text{zł}\]

Odpowiedź

Łączna wartość odsetek wynosi 4347 zł. Odpowiedź D.

\[4347\ \text{zł}\]

Sprawdzenie

Po dwóch latach kapitał wynosi 34 347 zł, czyli o 4347 zł więcej niż wpłacone 30 000 zł.

\[30000\cdot(1{,}07)^2=34347\ \text{zł},\qquad 34347-30000=4347\ \text{zł}\]

Zadanie 5

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $\log_2\frac{1}{8}+\log_2 4$ jest równa

$(-1)$

$\frac{1}{2}$

$2$

$5$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz argumenty jako potęgi dwójki

Korzystamy z definicji logarytmu: logarytm przy podstawie 2 jest wykładnikiem potęgi dwójki.

\[\frac{1}{8}=2^{-3},\qquad 4=2^2\]

2 Oblicz sumę

Ponieważ $\log_2 2^a=a$, oba logarytmy zastępujemy wykładnikami i dodajemy.

\[\log_2\frac{1}{8}+\log_2 4=-3+2=-1\]

Odpowiedź

Wynik to −1, czyli odpowiedź A.

\[-1\]

Sprawdzenie

Iloczyn argumentów wynosi 1/2, a $2^{-1}=1/2$, więc suma logarytmów jest równa −1.

\[\log_2\left(\frac{1}{8}\cdot4\right)=\log_2\frac{1}{2}=-1\]

Zadanie 6

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $(1+\sqrt{5})^2-(1-\sqrt{5})^2$ jest równa

$0$

$(-10)$

$4\sqrt{5}$

$2+2\sqrt{5}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie wzoru na różnicę kwadratów

Wyrażenie ma postać różnicy kwadratów, więc stosujemy wzór $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.

\[(1+\sqrt{5})^2-(1-\sqrt{5})^2=\bigl((1+\sqrt{5})-(1-\sqrt{5})\bigr)\bigl((1+\sqrt{5})+(1-\sqrt{5})\bigr)\]

2 Obliczenie iloczynu

W pierwszym nawiasie redukują się jedynki, a w drugim pierwiastki.

\[(2\sqrt{5})\cdot 2=4\sqrt{5}\]

Odpowiedź

Wynik to $4\sqrt{5}$, czyli odpowiedź C.

\[4\sqrt{5}\]

Sprawdzenie

Po rozwinięciu obu kwadratów składniki $1$ i $5$ się odejmują, a składniki z pierwiastkiem dają $4\sqrt{5}$.

\[(6+2\sqrt{5})-(6-2\sqrt{5})=4\sqrt{5}\]

Zadanie 7

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Wyrażenia algebraiczne

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ różnej od $0$ i $2$ wyrażenie $\frac{x^2+x}{(x-2)^2}\cdot\frac{x-2}{x}$ jest równe

$\frac{x^2+1}{x-2}$

$\frac{x+1}{2}$

$\frac{x^2}{(x-2)^2}$

$\frac{x+1}{x-2}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozłóż licznik na czynniki

Wyłączamy x przed nawias, aby wskazać czynniki, które można skrócić.

\[\frac{x^2+x}{(x-2)^2}\cdot\frac{x-2}{x}=\frac{x(x+1)(x-2)}{(x-2)^2x}\]

2 Skróć ułamek

Ponieważ x≠0 i x≠2, można skrócić przez x oraz x−2.

\[\frac{x(x+1)(x-2)}{(x-2)^2x}=\frac{x+1}{x-2}\]

Odpowiedź

Poprawna odpowiedź: D.

\[\frac{x+1}{x-2}\]

Sprawdzenie

Dla x=1, który spełnia warunki, wyrażenie z treści ma wartość −2. Otrzymany wynik ma tę samą wartość.

\[\frac{1^2+1}{(1-2)^2}\cdot\frac{1-2}{1}=-2=\frac{1+1}{1-2}\]

Zadanie 8

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

Rozwiąż nierówność $x(2x-1)<2x$.

Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przenieś wyrazy na jedną stronę

Aby porównać wyrażenie z zerem, odejmujemy $2x$ od obu stron i wyłączamy $x$ przed nawias.

\[x(2x-1)<2x\iff 2x^2-3x<0\iff x(2x-3)<0\]

2 Wyznacz przedział

Iloczyn jest ujemny, gdy jego czynniki mają przeciwne znaki. Dzieje się tak między miejscami zerowymi $0$ i $\frac{3}{2}$.

\[x(2x-3)<0\iff 0<x<\frac{3}{2}\]

Odpowiedź

Rozwiązaniem jest przedział $\left(0,\frac{3}{2}\right)$.

\[x\in\left(0,\frac{3}{2}\right)\]

Sprawdzenie

Dla $x=1$, leżącego w otrzymanym przedziale, mamy $1(2-1)=1<2$. Na końcach przedziału zachodzi równość, więc $0$ i $\frac{3}{2}$ nie należą do rozwiązania.

\[x=0:\ 0=0;\qquad x=\frac{3}{2}:\ 3=3\]

Zadanie 9

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte3 pkt

Równania i nierówności

Rozwiąż równanie $x^3+4x^2-9x-36=0$.

Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Grupowanie wyrazów

Łączymy wyrazy tak, aby w obu grupach pojawił się wspólny czynnik $x+4$.

\[x^3+4x^2-9x-36=x^2(x+4)-9(x+4)=(x+4)(x^2-9)\]

2 Rozkład i rozwiązanie

Korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów. Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden jego czynnik jest równy zeru.

\[(x+4)(x-3)(x+3)=0\quad\Longrightarrow\quad x=-4\ \lor\ x=3\ \lor\ x=-3\]

Odpowiedź

Rozwiązania równania to $x=-4$, $x=-3$ i $x=3$.

\[x\in\{-4,-3,3\}\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu każdej z trzech wartości lewa strona równania wynosi zero. Rozkład na trzy czynniki liniowe pokazuje, że innych rozwiązań nie ma.

\[(-4)^3+4(-4)^2-9(-4)-36=0,\quad (-3)^3+4(-3)^2-9(-3)-36=0,\quad 3^3+4\cdot3^2-9\cdot3-36=0\]

Zadanie 10

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Równanie $\frac{(x^2-3x)(x+2)}{x^2-4}=0$ w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie

jedno rozwiązanie.

dwa rozwiązania.

trzy rozwiązania.

cztery rozwiązania.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie dziedziny

Mianownik ułamka musi być różny od zera, więc wykluczamy liczby −2 i 2.

\[x^2-4=(x-2)(x+2)\ne 0\quad\Longrightarrow\quad x\ne -2,\ x\ne 2\]

2 Wyznaczenie miejsc zerowych licznika

Ułamek jest równy zeru, gdy jego licznik jest zerem, a mianownik jest różny od zera.

\[(x^2-3x)(x+2)=x(x-3)(x+2)=0\quad\Longrightarrow\quad x\in\{0,3,-2\}\]

3 Odrzucenie liczby spoza dziedziny

Liczba −2 zeruje mianownik, dlatego rozwiązaniami są tylko 0 i 3.

\[\{0,3,-2\}\setminus\{-2,2\}=\{0,3\}\]

Odpowiedź

Równanie ma dokładnie dwa rozwiązania. Odpowiedź B.

\[x\in\{0,3\}\]

Sprawdzenie

Dla 0 mianownik wynosi −4, a dla 3 wynosi 5; w obu przypadkach licznik wynosi 0. Liczba −2 jest wykluczona z dziedziny.

\[\frac{(0^2-3\cdot0)(0+2)}{0^2-4}=0,\qquad \frac{(3^2-3\cdot3)(3+2)}{3^2-4}=0\]

Zadanie 11

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ wykresy funkcji liniowych $f(x)=(2m+3)x+5$ oraz $g(x)=-x$ nie mają punktów wspólnych dla

$m=-2$

$m=-1$

$m=1$

$m=2$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek braku punktów wspólnych

Wykresy funkcji liniowych nie mają punktów wspólnych, gdy mają równe współczynniki kierunkowe i różne wyrazy wolne. Wyrazy wolne wynoszą tu 5 i 0, więc wystarczy zrównać współczynniki kierunkowe.

\[2m+3=-1\]

2 Obliczenie parametru

Odejmujemy 3 od obu stron równania, a następnie dzielimy przez 2.

\[2m=-4\quad\Longrightarrow\quad m=-2\]

Odpowiedź

m = −2, odpowiedź A.

\[m=-2\]

Sprawdzenie

Dla m = −2 otrzymujemy f(x) = −x + 5 oraz g(x) = −x. Ich współczynniki kierunkowe są równe, a wyrazy wolne różne, więc wykresy nie mają punktów wspólnych.

\[f(x)=-x+5\neq -x=g(x)\quad\text{dla każdego }x\]

Zadanie 12

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ prosta o równaniu $y=ax+b$ przechodzi przez punkty $A=(-3,-1)$ oraz $B=(4,3)$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Współczynnik $a$ w równaniu tej prostej jest równy

$(-4)$

$\left(-\frac{1}{2}\right)$

$2$

$\frac{4}{7}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie współczynnika kierunkowego

Dla prostej przechodzącej przez dwa punkty współczynnik kierunkowy jest ilorazem różnicy ich współrzędnych y i różnicy współrzędnych x.

\[a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{3-(-1)}{4-(-3)}=\frac{4}{7}\]

Odpowiedź

Współczynnik a wynosi 4/7. Odpowiedź D.

\[a=\frac{4}{7}\]

Sprawdzenie

Różnica współrzędnych x wynosi 7, więc iloraz jest określony. Dla otrzymanego współczynnika b = 5/7; oba punkty spełniają równanie prostej.

\[-1=\frac{4}{7}\cdot(-3)+\frac{5}{7},\qquad 3=\frac{4}{7}\cdot4+\frac{5}{7}\]

Zadanie 13.1

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte2 pkt

Funkcje

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ narysowano wykres funkcji $y=f(x)$ (zobacz rysunek).

Uzupełnij tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A–F.

Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór
Zbiorem wartości funkcji $f$ jest zbiór

Wykres funkcji y=f(x) w układzie współrzędnych

$[-3,-1]\cup[1,3]$

$(-3,3)$

$(-3,-1)\cup(1,3)$

$[-5,-1]\cup[1,5]$

$(-5,5)$

$(-5,-1)\cup(1,5)$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie dziedziny

Odczytujemy wszystkie wartości x, dla których wykres ma punkt. Puste kółka oznaczają, że końce przedziałów nie należą do dziedziny.

\[D_f=(-5,-1)\cup(1,5)\]

2 Wyznaczenie zbioru wartości

Odczytujemy wszystkie wysokości osiągane przez wykres. Wartości −3, −1, 1 i 3 są osiągane w innych punktach niż puste kółka, więc należą do zbioru wartości.

\[W_f=[-3,-1]\cup[1,3]\]

Odpowiedź

Dziedzina: F. Zbiór wartości: A.

\[D_f=(-5,-1)\cup(1,5),\qquad W_f=[-3,-1]\cup[1,3]\]

Sprawdzenie

Wykres nie zawiera punktów o współrzędnych x równych −5, −1, 1 lub 5, ale przyjmuje wszystkie wartości y od −3 do −1 oraz od 1 do 3, łącznie z końcami tych przedziałów.

\[-5,-1,1,5\notin D_f;\qquad -3,-1,1,3\in W_f\]

Zadanie 13.2

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte1 pkt

Funkcje

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ narysowano wykres funkcji $y=f(x)$ (zobacz rysunek).

Zapisz poniżej zbiór wszystkich rozwiązań nierówności $f(x)<-1$.

Wykres funkcji y=f(x) w układzie współrzędnych

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczyt wykresu

Szukamy punktów wykresu leżących poniżej prostej y=-1. Są to punkty lewej części wykresu dla x od -5 do -3.

\[-5<x<-3\]

2 Uwzględnienie końców przedziału

Dla x=-5 punkt jest niezamalowany, a dla x=-3 funkcja przyjmuje wartość -1, która nie spełnia nierówności ostrej.

\[x\in(-5,-3)\]

Odpowiedź

Zbiorem rozwiązań jest przedział (-5,-3).

\[(-5,-3)\]

Sprawdzenie

Na przedziale (-5,-4] wykres ma wysokość -3, a od -4 do -3 rośnie do -1, więc pozostaje poniżej -1. Dla pozostałych argumentów wykres nie leży poniżej tej wysokości.

\[-3<-1,\qquad f(-3)=-1\]

Zadanie 14

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=ax^2+bx+1$, gdzie $a$ oraz $b$ są pewnymi liczbami rzeczywistymi, takimi, że $a<0$ i $b>0$. Na jednym z rysunków A–D przedstawiono fragment wykresu tej funkcji w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Fragment wykresu funkcji $f$ przedstawiono na rysunku

Rysunek A: parabola skierowana ramionami w górę, z wierzchołkiem po lewej stronie osi y.

Rysunek B: parabola skierowana ramionami w dół, z wierzchołkiem po lewej stronie osi y.

Rysunek C: parabola skierowana ramionami w górę, z wierzchołkiem po prawej stronie osi y.

Rysunek D: parabola skierowana ramionami w dół, z wierzchołkiem po prawej stronie osi y.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Kierunek ramion

Ponieważ współczynnik przy kwadracie jest ujemny, ramiona paraboli są skierowane w dół.

\[a<0\]

2 Położenie wierzchołka

Współrzędna x wierzchołka jest dodatnia, ponieważ b jest dodatnie, a 2a ujemne. Wierzchołek leży więc po prawej stronie osi y.

\[x_w=-\frac{b}{2a}>0\]

3 Wybór rysunku

Parabolę o ramionach skierowanych w dół i wierzchołku po prawej stronie osi y przedstawiono na rysunku D.

Odpowiedź

Rysunek D.

\[\mathrm{D}\]

Sprawdzenie

Na rysunku D wykres przecina oś y w punkcie o wysokości 1, zgodnie z wyrazem wolnym funkcji.

\[f(0)=a\cdot 0^2+b\cdot 0+1=1\]

Zadanie 15.1

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte1 pkt

Funkcje

Masa $m$ leku $\mathcal{L}$ zażytego przez chorego zmienia się w organizmie zgodnie z zależnością wykładniczą

\[m(t)=m_0\cdot(0{,}6)^{0{,}25t}\]

gdzie:
$m_0$ – masa (wyrażona w mg) przyjętej w chwili $t=0$ dawki leku,
$t$ – czas (wyrażony w godzinach) liczony od momentu $t=0$ zażycia leku.

Chory przyjął jednorazowo lek $\mathcal{L}$ w dawce $200$ mg.

Oblicz, ile mg leku $\mathcal{L}$ pozostanie w organizmie chorego po $12$ godzinach od momentu przyjęcia dawki. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie danych

Podstawiamy dawkę 200 mg oraz czas 12 godzin do podanego wzoru.

\[m(12)=200\cdot(0{,}6)^{0{,}25\cdot12}=200\cdot(0{,}6)^3\]

2 Obliczenie masy

Obliczamy trzecią potęgę liczby 0,6 i mnożymy przez dawkę początkową.

\[m(12)=200\cdot0{,}216=43{,}2\ \mathrm{mg}\]

Odpowiedź

Po 12 godzinach w organizmie pozostanie 43,2 mg leku.

\[m(12)=43{,}2\ \mathrm{mg}\]

Sprawdzenie

Otrzymana masa stanowi 0,216 dawki początkowej, czyli dokładnie tyle, ile wynosi czynnik we wzorze dla 12 godzin; jest też mniejsza od 200 mg.

\[\frac{43{,}2}{200}=0{,}216=(0{,}6)^3<1\]

Zadanie 15.2

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte1 pkt

Ciągi

Masa $m$ leku $\mathcal{L}$ zażytego przez chorego zmienia się w organizmie zgodnie z zależnością wykładniczą

\[m(t)=m_0\cdot(0{,}6)^{0{,}25t}\]

gdzie:
$m_0$ – masa (wyrażona w mg) przyjętej w chwili $t=0$ dawki leku,
$t$ – czas (wyrażony w godzinach) liczony od momentu $t=0$ zażycia leku.

Liczby $m(2{,}5)$, $m(4{,}5)$, $m(6{,}5)$ w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny.

Oblicz iloraz tego ciągu. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Różnica czasu

Kolejne wartości masy odpowiadają chwilom oddalonym o 2 godziny, więc w ilorazie potęg wykładniki różnią się o $0{,}25\cdot2$.

\[4{,}5-2{,}5=6{,}5-4{,}5=2\]

2 Iloraz ciągu

Dzielimy drugą masę przez pierwszą. Korzystamy z reguły dzielenia potęg o tej samej podstawie; masa dawki $m_0>0$ się skraca.

\[q=\frac{m(4{,}5)}{m(2{,}5)}=(0{,}6)^{0{,}25(4{,}5-2{,}5)}=(0{,}6)^{0{,}5}=\sqrt{\frac35}=\frac{\sqrt{15}}5\]

Odpowiedź

Iloraz ciągu wynosi $\frac{\sqrt{15}}5$.

\[q=\frac{\sqrt{15}}5\]

Sprawdzenie

Iloraz trzeciej masy i drugiej ma tę samą wartość, ponieważ także te chwile dzielą 2 godziny. Iloraz jest bez jednostki.

\[\frac{m(6{,}5)}{m(4{,}5)}=(0{,}6)^{0{,}25(6{,}5-4{,}5)}=\frac{\sqrt{15}}5\]

Zadanie 16

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n=\frac{n-2}{3}$ dla każdej liczby naturalnej $n\geq 1$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba wyrazów tego ciągu mniejszych od $10$ jest równa

$28$

$31$

$32$

$27$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie indeksów

Szukamy wyrazów mniejszych od 10, więc rozwiązujemy nierówność dla indeksu n. Mnożymy przez dodatnią liczbę 3, dlatego znak nierówności się nie zmienia.

\[\frac{n-2}{3}<10\iff n-2<30\iff n<32\]

2 Policzenie wyrazów

Indeks n jest liczbą naturalną nie mniejszą niż 1, więc możliwe są wszystkie indeksy od 1 do 31.

\[n\in\{1,2,\ldots,31\}\quad\Rightarrow\quad 31\text{ wyrazów}\]

Odpowiedź

Liczba takich wyrazów wynosi 31. Odpowiedź B.

\[31\quad\text{— B}\]

Sprawdzenie

Wyraz o indeksie 31 jest mniejszy od 10, a następny jest równy 10. Zatem ostatnim spełniającym warunek jest wyraz o indeksie 31.

\[a_{31}=\frac{31-2}{3}=\frac{29}{3}<10,\qquad a_{32}=\frac{32-2}{3}=10\]

Zadanie 17

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Trzywyrazowy ciąg $(1,4,a+5)$ jest arytmetyczny.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $a$ jest równa

$0$

$7$

$2$

$11$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Porównanie różnic

W ciągu arytmetycznym różnice kolejnych wyrazów są równe, więc porównujemy różnice między podanymi wyrazami.

\[4-1=(a+5)-4\]

2 Obliczenie a

Upraszczamy równanie i odejmujemy 1 od obu stron.

\[3=a+1\quad\Rightarrow\quad a=2\]

Odpowiedź

Liczba a jest równa 2. Odpowiedź C.

\[a=2\]

Sprawdzenie

Dla a równego 2 trzeci wyraz wynosi 7. Obie różnice są równe 3, więc ciąg jest arytmetyczny.

\[(1,4,7),\qquad 4-1=7-4=3\]

Zadanie 18

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg geometryczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\geq 1$. W tym ciągu $a_1=3{,}75$ oraz $a_2=-7{,}5$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Suma trzech początkowych wyrazów ciągu $(a_n)$ jest równa

$11{,}25$

$(-18{,}75)$

$15$

$(-15)$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie ilorazu

W ciągu geometrycznym iloraz kolejnych wyrazów jest stały, więc dzielimy drugi wyraz przez pierwszy.

\[q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{-7{,}5}{3{,}75}=-2\]

2 Obliczenie sumy

Mnożymy drugi wyraz przez iloraz, aby otrzymać trzeci wyraz, a następnie dodajemy trzy wyrazy.

\[a_3=a_2q=(-7{,}5)\cdot(-2)=15,\qquad a_1+a_2+a_3=3{,}75-7{,}5+15=11{,}25\]

Odpowiedź

Suma wynosi 11,25. Odpowiedź A.

\[S_3=11{,}25\]

Sprawdzenie

Trzeci wyraz spełnia warunek ciągu geometrycznego: jego iloraz przez drugi wyraz wynosi −2. Otrzymana suma odpowiada odpowiedzi A.

\[\frac{15}{-7{,}5}=-2=\frac{-7{,}5}{3{,}75}\]

Zadanie 19

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdego kąta ostrego $\alpha$ wyrażenie $\cos\alpha-\cos\alpha\cdot\sin^2\alpha$ jest równe

$\cos^3\alpha$

$\sin^2\alpha$

$1-\sin^2\alpha$

$\cos\alpha$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyłączenie wspólnego czynnika

W obu składnikach występuje $\cos\alpha$, więc wyłączamy go przed nawias.

\[\cos\alpha-\cos\alpha\cdot\sin^2\alpha=\cos\alpha(1-\sin^2\alpha)\]

2 Zastosowanie tożsamości trygonometrycznej

Z tożsamości $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ wynika, że $1-\sin^2\alpha=\cos^2\alpha$.

\[\cos\alpha(1-\sin^2\alpha)=\cos\alpha\cdot\cos^2\alpha=\cos^3\alpha\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[\cos^3\alpha\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu $\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha$ do otrzymanego wyniku wracamy do wyrażenia z treści zadania. Tożsamość obowiązuje dla każdego kąta ostrego $\alpha$.

\[\cos^3\alpha=\cos\alpha(1-\sin^2\alpha)=\cos\alpha-\cos\alpha\sin^2\alpha\]

Zadanie 20

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte2 pkt

Trygonometria

Dany jest trójkąt, którego kąty mają miary $30^\circ$, $45^\circ$ oraz $105^\circ$. Długości boków trójkąta, leżących naprzeciwko tych kątów są równe – odpowiednio – $a$, $b$ oraz $c$ (zobacz rysunek).

Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.

Pole tego trójkąta poprawnie określają wyrażenia oznaczone literami: .................... oraz .................... .

Trójkąt z kątami 45° przy lewym dolnym wierzchołku, 30° przy prawym dolnym wierzchołku i 105° przy górnym wierzchołku; boki oznaczone a, b oraz c.

$\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot a\cdot c$

$\frac{1}{4}\cdot a\cdot c$

$\frac{\sqrt{2}}{4}\cdot a\cdot c$

$\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot b\cdot c$

$\frac{1}{2}\cdot b\cdot c$

$\frac{1}{4}\cdot b\cdot c$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Pole z boków a i c

Boki a i c tworzą kąt 45°. Korzystamy ze wzoru na pole z dwóch boków i sinusa kąta między nimi.

\[P=\frac12 ac\sin45^\circ=\frac12 ac\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt2}{4}ac\]

2 Pole z boków b i c

Boki b i c tworzą kąt 30°. Ten sam wzór daje drugie wyrażenie na pole.

\[P=\frac12 bc\sin30^\circ=\frac12 bc\cdot\frac12=\frac14bc\]

Odpowiedź

Poprawne odpowiedzi: C oraz F.

\[P=\frac{\sqrt2}{4}ac=\frac14bc\]

Sprawdzenie

Z twierdzenia sinusów wynika b=√2a, więc oba wskazane wyrażenia są równe.

\[\frac{b}{a}=\frac{\sin45^\circ}{\sin30^\circ}=\sqrt2,\qquad \frac14bc=\frac{\sqrt2}{4}ac\]

Zadanie 21

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Odcinek $AB$ jest średnicą okręgu o środku $S$. Prosta $k$ jest styczna do tego okręgu w punkcie $A$. Prosta $l$ przecina ten okrąg w punktach $B$ i $C$. Proste $k$ i $l$ przecinają się w punkcie $D$, przy czym $|BC|=4$ i $|CD|=3$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Odległość punktu $A$ od prostej $l$ jest równa

Okrąg o środku S i średnicy AB. Prosta k jest styczna do okręgu w punkcie A. Prosta l przechodzi przez punkty D, C i B. Odcinki CD i BC oznaczono odpowiednio liczbami 3 i 4.

$\frac{7}{2}$

$5$

$\sqrt{12}$

$\sqrt{3}+2$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Długość stycznej

Z twierdzenia o stycznej i siecznej obliczamy długość odcinka DA. Punkty D, C, B leżą na jednej prostej, więc DB=DC+CB=7.

\[DA^2=DC\cdot DB=3\cdot(3+4)=21\]

2 Średnica okręgu

Styczna w punkcie A jest prostopadła do średnicy AB. W trójkącie prostokątnym DAB stosujemy twierdzenie Pitagorasa.

\[AB^2=DB^2-DA^2=7^2-21=28\]

3 Odległość punktu od prostej

Szukana odległość h jest wysokością trójkąta DAB opuszczoną z A na prostą DB, czyli na prostą l. Porównujemy dwa wzory na pole tego trójkąta.

\[\frac{DA\cdot AB}{2}=\frac{DB\cdot h}{2},\qquad h=\frac{\sqrt{21}\cdot\sqrt{28}}{7}=\sqrt{12}\]

Odpowiedź

Odległość wynosi √12. Odpowiedź C.

\[h=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu obliczonych długości do wzoru na wysokość otrzymujemy h²=12, zgodnie z wynikiem.

\[h^2=\frac{DA^2\cdot AB^2}{DB^2}=\frac{21\cdot28}{49}=12\]

Zadanie 22

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

W trapezie $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ przekątne przecinają się w punkcie $E$ (zobacz rysunek).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Trójkąt $ABE$ jest podobny do trójkąta $CDE$.	P	F
Pole trójkąta $ACD$ jest równe polu trójkąta $BCD$.	P	F

Trapez ABCD o podstawach AB i CD; przekątne AC i BD przecinają się w punkcie E.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podobieństwo trójkątów

Ponieważ podstawy trapezu są równoległe, odpowiednie kąty przy przekątnych są równe. Z cechy kąt–kąt wynika podobieństwo, więc pierwsze stwierdzenie jest prawdziwe.

\[AB\parallel CD\ \Longrightarrow\ \angle BAE=\angle DCE,\quad \angle ABE=\angle CDE\ \Longrightarrow\ \triangle ABE\sim\triangle CDE.\]

2 Porównanie pól

Trójkąty ACD i BCD mają wspólną podstawę CD. Wierzchołki A i B leżą na prostej równoległej do CD, więc wysokości obu trójkątów są równe. Drugie stwierdzenie jest prawdziwe.

\[P_{ACD}=\frac12\,CD\cdot h=P_{BCD}.\]

Odpowiedź

Kolejno: P, P.

\[\boxed{\mathrm{P},\ \mathrm{P}}\]

Sprawdzenie

Równość kątów wynika z równoległości podstaw, a równość pól z tej samej długości podstawy CD i tej samej odległości prostej AB od CD.

\[\angle AEB=\angle CED,\qquad h_A=h_B\ \Longrightarrow\ P_{ACD}=P_{BCD}.\]

Zadanie 23

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Na łukach $AB$ i $CD$ okręgu są oparte kąty wpisane $ADB$ i $DBC$ takie, że $|\angle ADB|=20^\circ$ i $|\angle DBC|=40^\circ$ (zobacz rysunek). Cięciwy $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $K$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta $DKC$ jest równa

Okrąg z punktami A, B, C i D na obwodzie. Cięciwy AC i BD przecinają się w punkcie K; zaznaczono kąty ADB o mierze 20° i DBC o mierze 40°.

$80^\circ$

$60^\circ$

$50^\circ$

$40^\circ$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie miar łuków

Kąt wpisany ma miarę równą połowie miary łuku, na którym jest oparty.

\[|\overset{\frown}{AB}|=2\cdot20^\circ=40^\circ,\qquad |\overset{\frown}{CD}|=2\cdot40^\circ=80^\circ\]

2 Obliczenie kąta DKC

Kąt utworzony przez dwie cięciwy przecinające się wewnątrz okręgu ma miarę równą połowie sumy miar łuków wyznaczonych przez ten kąt i kąt do niego wierzchołkowy.

\[|\angle DKC|=\frac{|\overset{\frown}{CD}|+|\overset{\frown}{AB}|}{2}=\frac{80^\circ+40^\circ}{2}=60^\circ\]

Odpowiedź

Miara kąta DKC wynosi 60°, więc poprawna jest odpowiedź B.

\[|\angle DKC|=60^\circ\]

Sprawdzenie

Pozostałe dwa łuki mają razem 240°. Sąsiedni kąt CKB ma zatem 120°, a suma kątów sąsiednich wynosi 180°, zgodnie z otrzymanym wynikiem.

\[|\angle CKB|=\frac{360^\circ-40^\circ-80^\circ}{2}=120^\circ,\qquad 60^\circ+120^\circ=180^\circ\]

Zadanie 24

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Pole trójkąta równobocznego $T_1$ jest równe $\frac{(1{,}5)^2\cdot\sqrt{3}}{4}$. Pole trójkąta równobocznego $T_2$ jest równe $\frac{(4{,}5)^2\cdot\sqrt{3}}{4}$.

Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.

Trójkąt $T_2$ jest podobny do trójkąta $T_1$ w skali

ponieważ

$3$,

$9$,

każdy z tych trójkątów ma dokładnie trzy osie symetrii.

pole trójkąta $T_2$ jest $9$ razy większe od pola trójkąta $T_1$.

bok trójkąta $T_2$ jest o $3$ dłuższy od boku trójkąta $T_1$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie stosunku pól

Dzielimy pola, aby ustalić, ile razy pole trójkąta T₂ jest większe od pola trójkąta T₁.

\[\frac{P_{T_2}}{P_{T_1}}=\frac{(4{,}5)^2\sqrt{3}/4}{(1{,}5)^2\sqrt{3}/4}=\left(\frac{4{,}5}{1{,}5}\right)^2=9\]

2 Wyznaczenie skali

Pola figur podobnych są w stosunku równym kwadratowi skali. Zatem skala wynosi 3, a uzasadnia ją odpowiedź 2.

\[k^2=9,\qquad k=\sqrt{9}=3\]

Odpowiedź

A, uzasadnienie 2. Trójkąt T₂ jest podobny do T₁ w skali 3, ponieważ jego pole jest 9 razy większe.

\[\boxed{\mathrm{A2}}\]

Sprawdzenie

Z podanych wzorów na pola boki mają długości 1,5 i 4,5. Ich iloraz wynosi 3, więc potwierdza wyznaczoną skalę.

\[\frac{4{,}5}{1{,}5}=3\]

Zadanie 25

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Pole równoległoboku $ABCD$ jest równe $40\sqrt{6}$. Bok $AD$ tego równoległoboku ma długość $10$, a kąt $ABC$ równoległoboku ma miarę $135^\circ$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość boku $AB$ jest równa

Równoległobok ABCD z bokiem AD oznaczonym jako 10 i kątem ABC oznaczonym jako 135°.

$8\sqrt{3}$

$8\sqrt{2}$

$16\sqrt{2}$

$16\sqrt{3}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie wzoru na pole

W równoległoboku pole jest iloczynem długości sąsiednich boków i sinusa kąta między nimi. Bok BC ma taką samą długość jak AD, więc BC = 10.

\[P=AB\cdot BC\cdot\sin\angle ABC=AB\cdot10\cdot\sin135^\circ\]

2 Obliczenie długości boku

Ponieważ sinus kąta 135° wynosi √2/2, podstawiamy dane do wzoru i dzielimy przez 5√2.

\[40\sqrt6=AB\cdot10\cdot\frac{\sqrt2}{2}=5\sqrt2\cdot AB,\qquad AB=\frac{40\sqrt6}{5\sqrt2}=8\sqrt3\]

Odpowiedź

Długość boku AB wynosi 8√3. Odpowiedź A.

\[AB=8\sqrt3\quad\text{(A)}\]

Sprawdzenie

Dla obliczonej długości wzór daje pole 40√6, zgodne z treścią zadania.

\[8\sqrt3\cdot10\cdot\sin135^\circ=8\sqrt3\cdot10\cdot\frac{\sqrt2}{2}=40\sqrt6\]

Zadanie 26

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=-x+1$. Funkcja $g$ jest liniowa. W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ wykres funkcji $g$ przechodzi przez punkt $P=(0,-1)$ i jest prostopadły do wykresu funkcji $f$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wzorem funkcji $g$ jest

$g(x)=x+1$

$g(x)=-x-1$

$g(x)=-x+1$

$g(x)=x-1$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie współczynnika kierunkowego

Wykresy funkcji liniowych są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi $-1$. Funkcja $f$ ma współczynnik $-1$.

\[(-1)\cdot a_g=-1\quad\Rightarrow\quad a_g=1\]

2 Wyznaczenie wyrazu wolnego

Punkt $P=(0,-1)$ leży na wykresie $g$, więc $g(0)=-1$.

\[g(x)=x+b,\qquad g(0)=b=-1\quad\Rightarrow\quad g(x)=x-1\]

Odpowiedź

D. Wzorem funkcji jest $g(x)=x-1$.

\[g(x)=x-1\]

Sprawdzenie

Dla $x=0$ otrzymujemy $g(0)=-1$, więc wykres przechodzi przez $P$. Iloczyn współczynników kierunkowych wynosi $-1$, zatem wykresy są prostopadłe.

\[g(0)=0-1=-1,\qquad (-1)\cdot 1=-1\]

Zadanie 27

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ punkty $A=(-1,5)$ oraz $C=(3,-3)$ są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu $ABCD$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole kwadratu $ABCD$ jest równe

$8\sqrt{10}$

$16\sqrt{5}$

$40$

$80$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie przekątnej

Punkty A i C są końcami przekątnej, więc jej kwadrat obliczamy ze wzoru na odległość punktów.

\[AC^2=(3-(-1))^2+(-3-5)^2=4^2+(-8)^2=80\]

2 Obliczenie pola

W kwadracie kwadrat przekątnej jest dwa razy większy od pola, zatem dzielimy otrzymany wynik przez 2.

\[P=\frac{AC^2}{2}=\frac{80}{2}=40\]

Odpowiedź

Pole kwadratu wynosi 40. Odpowiedź C.

\[P=40\]

Sprawdzenie

Bok kwadratu ma długość pierwiastka z 40. Jego kwadrat daje pole 40, a suma kwadratów dwóch boków daje obliczone 80 dla przekątnej.

\[a=\sqrt{40}=2\sqrt{10},\quad a^2=40,\quad 2a^2=80=AC^2\]

Zadanie 28

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ dane są punkty $A=(1,7)$ oraz $P=(3,1)$. Punkt $P$ dzieli odcinek $AB$ tak, że $|AP|:|PB|=1:3$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Punkt $B$ ma współrzędne

$(9,-5)$

$(9,-17)$

$(7,-11)$

$(5,-5)$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie przesunięcia

Ponieważ punkt P leży na odcinku AB, a |AP|:|PB|=1:3, wektor od P do B jest trzykrotnością wektora od A do P.

\[\overrightarrow{AP}=(3-1,1-7)=(2,-6),\qquad \overrightarrow{PB}=3\overrightarrow{AP}=(6,-18)\]

2 Obliczenie współrzędnych B

Dodajemy wektor od P do B do współrzędnych punktu P.

\[B=P+\overrightarrow{PB}=(3+6,1-18)=(9,-17)\]

Odpowiedź

Punkt B ma współrzędne (9, −17). Odpowiedź B.

\[B=(9,-17)\]

Sprawdzenie

Wektory od A do P i od P do B mają ten sam zwrot, a długość drugiego jest trzykrotnie większa, więc P dzieli odcinek AB w podanym stosunku.

\[\overrightarrow{AP}=(2,-6),\qquad \overrightarrow{PB}=(9-3,-17-1)=(6,-18)=3\overrightarrow{AP}\]

Zadanie 29.1

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte1 pkt

Stereometria

Dany jest ostrosłup, którego podstawą jest kwadrat o boku $6$. Jedna z krawędzi bocznych tego ostrosłupa ma długość $12$ i jest prostopadła do płaszczyzny podstawy.

Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią wartość liczbową w wykropkowanym miejscu.

Objętość tego ostrosłupa jest równa ........................................ .

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wysokości

Krawędź boczna prostopadła do płaszczyzny podstawy jest wysokością ostrosłupa.

\[h=12\]

2 Obliczenie pola podstawy

Podstawą jest kwadrat o boku 6, więc jego pole jest równe kwadratowi długości boku.

\[P_p=6^2=36\]

3 Obliczenie objętości

Objętość ostrosłupa stanowi jedną trzecią iloczynu pola podstawy i wysokości.

\[V=\frac{1}{3}P_ph=\frac{1}{3}\cdot36\cdot12=144\]

Odpowiedź

Objętość ostrosłupa jest równa 144.

\[V=144\]

Sprawdzenie

Dla obliczonej objętości i pola podstawy wzór na objętość daje wysokość 12, zgodną z długością prostopadłej krawędzi bocznej.

\[h=\frac{3V}{P_p}=\frac{3\cdot144}{36}=12\]

Zadanie 29.2

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Dany jest ostrosłup, którego podstawą jest kwadrat o boku $6$. Jedna z krawędzi bocznych tego ostrosłupa ma długość $12$ i jest prostopadła do płaszczyzny podstawy.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Tangens kąta nachylenia najdłuższej krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy jest równy

$\sqrt{2}$

$\frac{\sqrt{6}}{3}$

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie rzutu krawędzi

Wierzchołek ostrosłupa leży nad wierzchołkiem kwadratu, ponieważ krawędź długości 12 jest prostopadła do podstawy. Najdłuższa krawędź boczna prowadzi do przeciwległego wierzchołka kwadratu, więc jej rzutem na podstawę jest przekątna kwadratu.

\[d=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}\]

2 Obliczenie tangensa

Kąt nachylenia krawędzi do podstawy jest kątem między krawędzią a jej rzutem. W powstałym trójkącie prostokątnym przyprostokątna naprzeciw tego kąta ma długość 12.

\[\tan\alpha=\frac{12}{6\sqrt{2}}=\sqrt{2}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[\tan\alpha=\sqrt{2}\]

Sprawdzenie

Odległości w podstawie od wierzchołka pod prostopadłą wynoszą 0, 6, 6 i 6√2. Ponieważ wysokość 12 jest wspólna, największej odległości odpowiada najdłuższa krawędź boczna. Otrzymany tangens pasuje do odpowiedzi A.

\[\sqrt{12^2+(6\sqrt{2})^2}=6\sqrt{6}>\sqrt{12^2+6^2}=6\sqrt{5}\]

Zadanie 30

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Dany jest graniastosłup prawidłowy sześciokątny $ABCDEFA'B'C'D'E'F'$, w którym krawędź podstawy ma długość $5$. Przekątna $AD'$ tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $45^\circ$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe

$Rysunek graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego z oznaczonymi wierzchołkami, przekątną $AD'$, jej rzutem $AD$ na podstawę i kątem $45^\circ$ między nimi.$

$12{,}5$

$25$

$50$

$100$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przekątna podstawy

W sześciokącie foremnym odcinek łączący przeciwległe wierzchołki jest dwa razy dłuższy od boku.

\[AD=2\cdot 5=10\]

2 Wysokość graniastosłupa

Rzutem przekątnej $AD'$ na podstawę jest $AD$. Trójkąt $ADD'$ jest prostokątny, więc z tangensa kąta nachylenia wyznaczamy wysokość.

\[\tan 45^\circ=\frac{DD'}{AD}=\frac{DD'}{10}=1\quad\Rightarrow\quad DD'=10\]

3 Pole ściany bocznej

Ściana boczna jest prostokątem o bokach równych krawędzi podstawy i wysokości graniastosłupa.

\[P=5\cdot 10=50\]

Odpowiedź

Pole ściany bocznej wynosi 50. Odpowiedź C.

\[P=50\]

Sprawdzenie

Dla wysokości 10 stosunek wysokości do rzutu przekątnej wynosi 1, zatem kąt nachylenia rzeczywiście ma 45°.

\[\tan\angle DAD'=\frac{DD'}{AD}=\frac{10}{10}=1=\tan45^\circ\]

Zadanie 31

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Kombinatoryka

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych o sumie cyfr równej $3$ jest

$8$

$4$

$5$

$6$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustal możliwe cyfry setek

Cyfra setek musi być dodatnia i nie może przekraczać sumy cyfr, czyli 3.

\[s\in\{1,2,3\}\]

2 Policz możliwości

Dla kolejnych cyfr setek wypisujemy pary cyfr dziesiątek i jedności o wymaganej sumie.

\[s=1:\ (0,2),(1,1),(2,0);\quad s=2:\ (0,1),(1,0);\quad s=3:\ (0,0)\]

Odpowiedź

Jest 6 takich liczb. Odpowiedź D.

\[3+2+1=6\]

Sprawdzenie

Otrzymane liczby to 102, 111, 120, 201, 210 i 300. Każda jest trzycyfrowa i ma sumę cyfr równą 3; rozpatrzono wszystkie możliwe cyfry setek.

\[1+0+2=1+1+1=1+2+0=2+0+1=2+1+0=3+0+0=3\]

Zadanie 32

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Ze zbioru ośmiu kolejnych liczb naturalnych – od $1$ do $8$ – losujemy kolejno bez zwracania dwa razy po jednej liczbie. Niech $A$ oznacza zdarzenie polegające na tym, że suma wylosowanych liczb jest dzielnikiem liczby $8$.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba możliwych wyników

Losujemy kolejno bez zwracania, więc uwzględniamy kolejność i nie możemy wylosować tej samej liczby dwa razy.

\[|\Omega|=8\cdot 7=56\]

2 Liczba wyników sprzyjających

Suma dwóch różnych liczb z tego zbioru wynosi co najmniej 3. Spośród dzielników liczby 8 możliwe są więc sumy 4 i 8. Dają je cztery pary liczb, każda w dwóch kolejnościach.

\[4=1+3,\qquad 8=1+7=2+6=3+5,\qquad |A|=4\cdot 2=8\]

3 Obliczenie prawdopodobieństwa

Dzielimy liczbę wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich jednakowo prawdopodobnych wyników.

\[P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{8}{56}=\frac{1}{7}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi 1/7.

\[P(A)=\frac{1}{7}\]

Sprawdzenie

Suma 2 wymagałaby dwukrotnego wylosowania liczby 1, co jest niemożliwe bez zwracania. Wymienione cztery pary o sumach 4 lub 8 wyczerpują wyniki sprzyjające.

\[\frac{2+6}{56}=\frac{8}{56}=\frac{1}{7}\]

Zadanie 33

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Optymalizacja i rachunek różniczkowy

Działka ma kształt trapezu. Podstawy $AB$ i $CD$ tego trapezu mają długości $|AB|=400\,\mathrm{m}$ oraz $|CD|=100\,\mathrm{m}$. Wysokość trapezu jest równa $75\,\mathrm{m}$, a jego kąty $DAB$ i $ABC$ są ostre.

Z działki postanowiono wydzielić plac w kształcie prostokąta z przeznaczeniem na parking. Dwa z wierzchołków tego prostokąta mają leżeć na podstawie $AB$ tego trapezu, a dwa pozostałe – $E$ oraz $F$ – na ramionach $AD$ i $BC$ trapezu (zobacz rysunek).

Wyznacz długości boków prostokąta, dla których powierzchnia wydzielonego placu będzie największa. Wyznacz tę największą powierzchnię. Zapisz obliczenia.

Wskazówka:
Aby powiązać ze sobą wymiary prostokąta, skorzystaj z tego, że pole trapezu $ABCD$ jest sumą pól trapezów $ABFE$ oraz $EFCD$:

\[P_{ABCD}=P_{ABFE}+P_{EFCD}\]

Trapez ABCD o podstawach AB = 400 m i CD = 100 m oraz wysokości 75 m. Wewnątrz zaznaczono prostokątny plac przeznaczony na parking; jego górne wierzchołki E i F leżą na ramionach trapezu.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zależność między bokami

Niech x oznacza wysokość prostokąta w metrach, a y jego szerokość w metrach. Dla prostokąta mamy 0<x≤75. Pole całej działki jest sumą pól dwóch trapezów, więc możemy wyznaczyć y bez dzielenia przez x.

\[\frac{400+100}{2}\cdot75=\frac{400+y}{2}\cdot x+\frac{y+100}{2}\cdot(75-x)\quad\Longrightarrow\quad y=400-4x\]

2 Największe pole

Pole prostokąta jest iloczynem jego boków. Po uzupełnieniu kwadratu widać, że największe pole otrzymujemy dla x=50.

\[P(x)=x(400-4x)=10000-4(x-50)^2\leq10000\]

3 Wymiary prostokąta

Dla x=50 obliczamy szerokość. Ta wysokość należy do dopuszczalnego zakresu.

\[x=50\,\mathrm{m},\qquad y=400-4\cdot50=200\,\mathrm{m}\]

Odpowiedź

Boki prostokąta mają długości 50 m i 200 m. Największe pole wynosi 10 000 m².

\[50\,\mathrm{m}\times200\,\mathrm{m},\qquad P_{\max}=10000\,\mathrm{m}^2\]

Sprawdzenie

Wysokość 50 m mieści się w zakresie od 0 do 75 m, a szerokość 200 m jest dodatnia. Iloczyn boków wynosi 10 000 m². Dla każdej innej dopuszczalnej wysokości od tej wartości odejmujemy dodatnią liczbę.

\[0<50\leq75,\qquad 50\cdot200=10000,\qquad P(x)=10000-4(x-50)^2<10000\ \text{dla }x\ne50\]

Dziedziną funkcji \(f\) jest zbiór
Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest zbiór

Trójkąt \(ABE\) jest podobny do trójkąta \(CDE\).	P	F
Pole trójkąta \(ACD\) jest równe polu trójkąta \(BCD\).	P	F