Zadanie 21 — matura 2023, czerwiec | Matematyka podstawowa, F-2023

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Odcinek \(AB\) jest średnicą okręgu o środku \(S\). Prosta \(k\) jest styczna do tego okręgu w punkcie \(A\). Prosta \(l\) przecina ten okrąg w punktach \(B\) i \(C\). Proste \(k\) i \(l\) przecinają się w punkcie \(D\), przy czym \(|BC|=4\) i \(|CD|=3\) (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Odległość punktu \(A\) od prostej \(l\) jest równa

Okrąg o środku S i średnicy AB. Prosta k jest styczna do okręgu w punkcie A. Prosta l przechodzi przez punkty D, C i B. Odcinki CD i BC oznaczono odpowiednio liczbami 3 i 4.

\(\frac{7}{2}\)

\(5\)

\(\sqrt{12}\)

\(\sqrt{3}+2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Długość stycznej

Z twierdzenia o stycznej i siecznej obliczamy długość odcinka DA. Punkty D, C, B leżą na jednej prostej, więc DB=DC+CB=7.

\[DA^2=DC\cdot DB=3\cdot(3+4)=21\]

2 Średnica okręgu

Styczna w punkcie A jest prostopadła do średnicy AB. W trójkącie prostokątnym DAB stosujemy twierdzenie Pitagorasa.

\[AB^2=DB^2-DA^2=7^2-21=28\]

3 Odległość punktu od prostej

Szukana odległość h jest wysokością trójkąta DAB opuszczoną z A na prostą DB, czyli na prostą l. Porównujemy dwa wzory na pole tego trójkąta.

\[\frac{DA\cdot AB}{2}=\frac{DB\cdot h}{2},\qquad h=\frac{\sqrt{21}\cdot\sqrt{28}}{7}=\sqrt{12}\]

Odpowiedź

Odległość wynosi √12. Odpowiedź C.

\[h=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu obliczonych długości do wzoru na wysokość otrzymujemy h²=12, zgodnie z wynikiem.

\[h^2=\frac{DA^2\cdot AB^2}{DB^2}=\frac{21\cdot28}{49}=12\]