Zamknięte1 pkt
W trapezie \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\) przekątne przecinają się w punkcie \(E\) (zobacz rysunek).
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
| Trójkąt \(ABE\) jest podobny do trójkąta \(CDE\). | P | F |
| Pole trójkąta \(ACD\) jest równe polu trójkąta \(BCD\). | P | F |
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Podobieństwo trójkątów
Ponieważ podstawy trapezu są równoległe, odpowiednie kąty przy przekątnych są równe. Z cechy kąt–kąt wynika podobieństwo, więc pierwsze stwierdzenie jest prawdziwe.
\[AB\parallel CD\ \Longrightarrow\ \angle BAE=\angle DCE,\quad \angle ABE=\angle CDE\ \Longrightarrow\ \triangle ABE\sim\triangle CDE.\]
2 Porównanie pól
Trójkąty ACD i BCD mają wspólną podstawę CD. Wierzchołki A i B leżą na prostej równoległej do CD, więc wysokości obu trójkątów są równe. Drugie stwierdzenie jest prawdziwe.
\[P_{ACD}=\frac12\,CD\cdot h=P_{BCD}.\]
Odpowiedź
Kolejno: P, P.
\[\boxed{\mathrm{P},\ \mathrm{P}}\]
Sprawdzenie
Równość kątów wynika z równoległości podstaw, a równość pól z tej samej długości podstawy CD i tej samej odległości prostej AB od CD.
\[\angle AEB=\angle CED,\qquad h_A=h_B\ \Longrightarrow\ P_{ACD}=P_{BCD}.\]