Zamknięte1 pkt
Na łukach \(AB\) i \(CD\) okręgu są oparte kąty wpisane \(ADB\) i \(DBC\) takie, że \(|\angle ADB|=20^\circ\) i \(|\angle DBC|=40^\circ\) (zobacz rysunek). Cięciwy \(AC\) i \(BD\) przecinają się w punkcie \(K\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Miara kąta \(DKC\) jest równa
A
\(80^\circ\)
B
\(60^\circ\)
C
\(50^\circ\)
D
\(40^\circ\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Wyznaczenie miar łuków
Kąt wpisany ma miarę równą połowie miary łuku, na którym jest oparty.
\[|\overset{\frown}{AB}|=2\cdot20^\circ=40^\circ,\qquad |\overset{\frown}{CD}|=2\cdot40^\circ=80^\circ\]
2 Obliczenie kąta DKC
Kąt utworzony przez dwie cięciwy przecinające się wewnątrz okręgu ma miarę równą połowie sumy miar łuków wyznaczonych przez ten kąt i kąt do niego wierzchołkowy.
\[|\angle DKC|=\frac{|\overset{\frown}{CD}|+|\overset{\frown}{AB}|}{2}=\frac{80^\circ+40^\circ}{2}=60^\circ\]
Odpowiedź
Miara kąta DKC wynosi 60°, więc poprawna jest odpowiedź B.
\[|\angle DKC|=60^\circ\]
Sprawdzenie
Pozostałe dwa łuki mają razem 240°. Sąsiedni kąt CKB ma zatem 120°, a suma kątów sąsiednich wynosi 180°, zgodnie z otrzymanym wynikiem.
\[|\angle CKB|=\frac{360^\circ-40^\circ-80^\circ}{2}=120^\circ,\qquad 60^\circ+120^\circ=180^\circ\]