Zamknięte2 pkt
Dany jest trójkąt, którego kąty mają miary \(30^\circ\), \(45^\circ\) oraz \(105^\circ\). Długości boków trójkąta, leżących naprzeciwko tych kątów są równe – odpowiednio – \(a\), \(b\) oraz \(c\) (zobacz rysunek).
Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.
Pole tego trójkąta poprawnie określają wyrażenia oznaczone literami: .................... oraz .................... .
A
\(\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot a\cdot c\)
B
\(\frac{1}{4}\cdot a\cdot c\)
C
\(\frac{\sqrt{2}}{4}\cdot a\cdot c\)
D
\(\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot b\cdot c\)
E
\(\frac{1}{2}\cdot b\cdot c\)
F
\(\frac{1}{4}\cdot b\cdot c\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Pole z boków a i c
Boki a i c tworzą kąt 45°. Korzystamy ze wzoru na pole z dwóch boków i sinusa kąta między nimi.
\[P=\frac12 ac\sin45^\circ=\frac12 ac\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt2}{4}ac\]
2 Pole z boków b i c
Boki b i c tworzą kąt 30°. Ten sam wzór daje drugie wyrażenie na pole.
\[P=\frac12 bc\sin30^\circ=\frac12 bc\cdot\frac12=\frac14bc\]
Odpowiedź
Poprawne odpowiedzi: C oraz F.
\[P=\frac{\sqrt2}{4}ac=\frac14bc\]
Sprawdzenie
Z twierdzenia sinusów wynika b=√2a, więc oba wskazane wyrażenia są równe.
\[\frac{b}{a}=\frac{\sin45^\circ}{\sin30^\circ}=\sqrt2,\qquad \frac14bc=\frac{\sqrt2}{4}ac\]