Zamknięte1 pkt
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dla każdego kąta ostrego \(\alpha\) wyrażenie \(\cos\alpha-\cos\alpha\cdot\sin^2\alpha\) jest równe
A
\(\cos^3\alpha\)
B
\(\sin^2\alpha\)
C
\(1-\sin^2\alpha\)
D
\(\cos\alpha\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Wyłączenie wspólnego czynnika
W obu składnikach występuje \(\cos\alpha\), więc wyłączamy go przed nawias.
\[\cos\alpha-\cos\alpha\cdot\sin^2\alpha=\cos\alpha(1-\sin^2\alpha)\]
2 Zastosowanie tożsamości trygonometrycznej
Z tożsamości \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) wynika, że \(1-\sin^2\alpha=\cos^2\alpha\).
\[\cos\alpha(1-\sin^2\alpha)=\cos\alpha\cdot\cos^2\alpha=\cos^3\alpha\]
Odpowiedź
Odpowiedź A.
\[\cos^3\alpha\]
Sprawdzenie
Po podstawieniu \(\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha\) do otrzymanego wyniku wracamy do wyrażenia z treści zadania. Tożsamość obowiązuje dla każdego kąta ostrego \(\alpha\).
\[\cos^3\alpha=\cos\alpha(1-\sin^2\alpha)=\cos\alpha-\cos\alpha\sin^2\alpha\]