Zadanie 29.2 — matura 2023, czerwiec | Matematyka podstawowa, F-2023

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Dany jest ostrosłup, którego podstawą jest kwadrat o boku \(6\). Jedna z krawędzi bocznych tego ostrosłupa ma długość \(12\) i jest prostopadła do płaszczyzny podstawy.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Tangens kąta nachylenia najdłuższej krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy jest równy

\(\sqrt{2}\)

\(\frac{\sqrt{6}}{3}\)

\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie rzutu krawędzi

Wierzchołek ostrosłupa leży nad wierzchołkiem kwadratu, ponieważ krawędź długości 12 jest prostopadła do podstawy. Najdłuższa krawędź boczna prowadzi do przeciwległego wierzchołka kwadratu, więc jej rzutem na podstawę jest przekątna kwadratu.

\[d=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}\]

2 Obliczenie tangensa

Kąt nachylenia krawędzi do podstawy jest kątem między krawędzią a jej rzutem. W powstałym trójkącie prostokątnym przyprostokątna naprzeciw tego kąta ma długość 12.

\[\tan\alpha=\frac{12}{6\sqrt{2}}=\sqrt{2}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[\tan\alpha=\sqrt{2}\]

Sprawdzenie

Odległości w podstawie od wierzchołka pod prostopadłą wynoszą 0, 6, 6 i 6√2. Ponieważ wysokość 12 jest wspólna, największej odległości odpowiada najdłuższa krawędź boczna. Otrzymany tangens pasuje do odpowiedzi A.

\[\sqrt{12^2+(6\sqrt{2})^2}=6\sqrt{6}>\sqrt{12^2+6^2}=6\sqrt{5}\]