Zadanie 30 — matura 2023, czerwiec | Matematyka podstawowa, F-2023

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Dany jest graniastosłup prawidłowy sześciokątny $ABCDEFA'B'C'D'E'F'$, w którym krawędź podstawy ma długość $5$. Przekątna $AD'$ tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $45^\circ$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe

$Rysunek graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego z oznaczonymi wierzchołkami, przekątną $AD'$, jej rzutem $AD$ na podstawę i kątem $45^\circ$ między nimi.$

$12{,}5$

$25$

$50$

$100$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przekątna podstawy

W sześciokącie foremnym odcinek łączący przeciwległe wierzchołki jest dwa razy dłuższy od boku.

\[AD=2\cdot 5=10\]

2 Wysokość graniastosłupa

Rzutem przekątnej $AD'$ na podstawę jest $AD$. Trójkąt $ADD'$ jest prostokątny, więc z tangensa kąta nachylenia wyznaczamy wysokość.

\[\tan 45^\circ=\frac{DD'}{AD}=\frac{DD'}{10}=1\quad\Rightarrow\quad DD'=10\]

3 Pole ściany bocznej

Ściana boczna jest prostokątem o bokach równych krawędzi podstawy i wysokości graniastosłupa.

\[P=5\cdot 10=50\]

Odpowiedź

Pole ściany bocznej wynosi 50. Odpowiedź C.

\[P=50\]

Sprawdzenie

Dla wysokości 10 stosunek wysokości do rzutu przekątnej wynosi 1, zatem kąt nachylenia rzeczywiście ma 45°.

\[\tan\angle DAD'=\frac{DD'}{AD}=\frac{10}{10}=1=\tan45^\circ\]