Zamknięte1 pkt
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dane są punkty \(A=(1,7)\) oraz \(P=(3,1)\). Punkt \(P\) dzieli odcinek \(AB\) tak, że \(|AP|:|PB|=1:3\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Punkt \(B\) ma współrzędne
A
\((9,-5)\)
B
\((9,-17)\)
C
\((7,-11)\)
D
\((5,-5)\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Wyznaczenie przesunięcia
Ponieważ punkt P leży na odcinku AB, a |AP|:|PB|=1:3, wektor od P do B jest trzykrotnością wektora od A do P.
\[\overrightarrow{AP}=(3-1,1-7)=(2,-6),\qquad \overrightarrow{PB}=3\overrightarrow{AP}=(6,-18)\]
2 Obliczenie współrzędnych B
Dodajemy wektor od P do B do współrzędnych punktu P.
\[B=P+\overrightarrow{PB}=(3+6,1-18)=(9,-17)\]
Odpowiedź
Punkt B ma współrzędne (9, −17). Odpowiedź B.
\[B=(9,-17)\]
Sprawdzenie
Wektory od A do P i od P do B mają ten sam zwrot, a długość drugiego jest trzykrotnie większa, więc P dzieli odcinek AB w podanym stosunku.
\[\overrightarrow{AP}=(2,-6),\qquad \overrightarrow{PB}=(9-3,-17-1)=(6,-18)=3\overrightarrow{AP}\]