Otwarte3 pkt
Rozwiąż równanie \(x^3+4x^2-9x-36=0\).
Zapisz obliczenia.
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Grupowanie wyrazów
Łączymy wyrazy tak, aby w obu grupach pojawił się wspólny czynnik \(x+4\).
\[x^3+4x^2-9x-36=x^2(x+4)-9(x+4)=(x+4)(x^2-9)\]
2 Rozkład i rozwiązanie
Korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów. Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden jego czynnik jest równy zeru.
\[(x+4)(x-3)(x+3)=0\quad\Longrightarrow\quad x=-4\ \lor\ x=3\ \lor\ x=-3\]
Odpowiedź
Rozwiązania równania to \(x=-4\), \(x=-3\) i \(x=3\).
\[x\in\{-4,-3,3\}\]
Sprawdzenie
Po podstawieniu każdej z trzech wartości lewa strona równania wynosi zero. Rozkład na trzy czynniki liniowe pokazuje, że innych rozwiązań nie ma.
\[(-4)^3+4(-4)^2-9(-4)-36=0,\quad (-3)^3+4(-3)^2-9(-3)-36=0,\quad 3^3+4\cdot3^2-9\cdot3-36=0\]