Zamknięte1 pkt
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Równanie \(\frac{(x^2-3x)(x+2)}{x^2-4}=0\) w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie
A
jedno rozwiązanie.
B
dwa rozwiązania.
C
trzy rozwiązania.
D
cztery rozwiązania.
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Wyznaczenie dziedziny
Mianownik ułamka musi być różny od zera, więc wykluczamy liczby −2 i 2.
\[x^2-4=(x-2)(x+2)\ne 0\quad\Longrightarrow\quad x\ne -2,\ x\ne 2\]
2 Wyznaczenie miejsc zerowych licznika
Ułamek jest równy zeru, gdy jego licznik jest zerem, a mianownik jest różny od zera.
\[(x^2-3x)(x+2)=x(x-3)(x+2)=0\quad\Longrightarrow\quad x\in\{0,3,-2\}\]
3 Odrzucenie liczby spoza dziedziny
Liczba −2 zeruje mianownik, dlatego rozwiązaniami są tylko 0 i 3.
\[\{0,3,-2\}\setminus\{-2,2\}=\{0,3\}\]
Odpowiedź
Równanie ma dokładnie dwa rozwiązania. Odpowiedź B.
\[x\in\{0,3\}\]
Sprawdzenie
Dla 0 mianownik wynosi −4, a dla 3 wynosi 5; w obu przypadkach licznik wynosi 0. Liczba −2 jest wykluczona z dziedziny.
\[\frac{(0^2-3\cdot0)(0+2)}{0^2-4}=0,\qquad \frac{(3^2-3\cdot3)(3+2)}{3^2-4}=0\]