Zamknięte1 pkt
Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=\frac{n-2}{3}\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba wyrazów tego ciągu mniejszych od \(10\) jest równa
A
\(28\)
B
\(31\)
C
\(32\)
D
\(27\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Wyznaczenie indeksów
Szukamy wyrazów mniejszych od 10, więc rozwiązujemy nierówność dla indeksu n. Mnożymy przez dodatnią liczbę 3, dlatego znak nierówności się nie zmienia.
\[\frac{n-2}{3}<10\iff n-2<30\iff n<32\]
2 Policzenie wyrazów
Indeks n jest liczbą naturalną nie mniejszą niż 1, więc możliwe są wszystkie indeksy od 1 do 31.
\[n\in\{1,2,\ldots,31\}\quad\Rightarrow\quad 31\text{ wyrazów}\]
Odpowiedź
Liczba takich wyrazów wynosi 31. Odpowiedź B.
\[31\quad\text{— B}\]
Sprawdzenie
Wyraz o indeksie 31 jest mniejszy od 10, a następny jest równy 10. Zatem ostatnim spełniającym warunek jest wyraz o indeksie 31.
\[a_{31}=\frac{31-2}{3}=\frac{29}{3}<10,\qquad a_{32}=\frac{32-2}{3}=10\]