Zadanie 15.2 — matura 2023, czerwiec | Matematyka podstawowa, F-2023

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte1 pkt

Masa \(m\) leku \(\mathcal{L}\) zażytego przez chorego zmienia się w organizmie zgodnie z zależnością wykładniczą

\[m(t)=m_0\cdot(0{,}6)^{0{,}25t}\]

gdzie:
\(m_0\) – masa (wyrażona w mg) przyjętej w chwili \(t=0\) dawki leku,
\(t\) – czas (wyrażony w godzinach) liczony od momentu \(t=0\) zażycia leku.

Liczby \(m(2{,}5)\), \(m(4{,}5)\), \(m(6{,}5)\) w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny.

Oblicz iloraz tego ciągu. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Różnica czasu

Kolejne wartości masy odpowiadają chwilom oddalonym o 2 godziny, więc w ilorazie potęg wykładniki różnią się o \(0{,}25\cdot2\).

\[4{,}5-2{,}5=6{,}5-4{,}5=2\]

2 Iloraz ciągu

Dzielimy drugą masę przez pierwszą. Korzystamy z reguły dzielenia potęg o tej samej podstawie; masa dawki \(m_0>0\) się skraca.

\[q=\frac{m(4{,}5)}{m(2{,}5)}=(0{,}6)^{0{,}25(4{,}5-2{,}5)}=(0{,}6)^{0{,}5}=\sqrt{\frac35}=\frac{\sqrt{15}}5\]

Odpowiedź

Iloraz ciągu wynosi \(\frac{\sqrt{15}}5\).

\[q=\frac{\sqrt{15}}5\]

Sprawdzenie

Iloraz trzeciej masy i drugiej ma tę samą wartość, ponieważ także te chwile dzielą 2 godziny. Iloraz jest bez jednostki.

\[\frac{m(6{,}5)}{m(4{,}5)}=(0{,}6)^{0{,}25(6{,}5-4{,}5)}=\frac{\sqrt{15}}5\]