Działka ma kształt trapezu. Podstawy \(AB\) i \(CD\) tego trapezu mają długości \(|AB|=400\,\mathrm{m}\) oraz \(|CD|=100\,\mathrm{m}\). Wysokość trapezu jest równa \(75\,\mathrm{m}\), a jego kąty \(DAB\) i \(ABC\) są ostre.
Z działki postanowiono wydzielić plac w kształcie prostokąta z przeznaczeniem na parking. Dwa z wierzchołków tego prostokąta mają leżeć na podstawie \(AB\) tego trapezu, a dwa pozostałe – \(E\) oraz \(F\) – na ramionach \(AD\) i \(BC\) trapezu (zobacz rysunek).
Wyznacz długości boków prostokąta, dla których powierzchnia wydzielonego placu będzie największa. Wyznacz tę największą powierzchnię. Zapisz obliczenia.
Wskazówka:
Aby powiązać ze sobą wymiary prostokąta, skorzystaj z tego, że pole trapezu \(ABCD\) jest sumą pól trapezów \(ABFE\) oraz \(EFCD\):
\[P_{ABCD}=P_{ABFE}+P_{EFCD}\]
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Zależność między bokami
Niech x oznacza wysokość prostokąta w metrach, a y jego szerokość w metrach. Dla prostokąta mamy 0<x≤75. Pole całej działki jest sumą pól dwóch trapezów, więc możemy wyznaczyć y bez dzielenia przez x.
2 Największe pole
Pole prostokąta jest iloczynem jego boków. Po uzupełnieniu kwadratu widać, że największe pole otrzymujemy dla x=50.
3 Wymiary prostokąta
Dla x=50 obliczamy szerokość. Ta wysokość należy do dopuszczalnego zakresu.
Odpowiedź
Boki prostokąta mają długości 50 m i 200 m. Największe pole wynosi 10 000 m².
Sprawdzenie
Wysokość 50 m mieści się w zakresie od 0 do 75 m, a szerokość 200 m jest dodatnia. Iloczyn boków wynosi 10 000 m². Dla każdej innej dopuszczalnej wysokości od tej wartości odejmujemy dodatnią liczbę.