Arkusz maturalny

Matematyka — matura 2023

Poziom podstawowySierpieńFormuła 2023

Zobacz zadania i rozwiązania 36 zadań z arkusza

ArkuszPobierz PDF KluczPobierz PDF

Zadania z arkusza — rozwiązania krok po kroku

36 zadań · Rozwiń rozwiązanie pod wybranym zadaniem.

Zadanie 1

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Dana jest nierówność \(\lvert x-5\rvert<2\).

Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Rysunek osi liczbowej w odpowiedzi A.

Rysunek osi liczbowej w odpowiedzi B.

Rysunek osi liczbowej w odpowiedzi C.

Rysunek osi liczbowej w odpowiedzi D.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozwiązanie nierówności

Wartość bezwzględna jest mniejsza od 2 wtedy, gdy wyrażenie pod nią leży między −2 a 2. Dodajemy 5 do każdej strony.

\[|x-5|<2\iff -2<x-5<2\iff 3<x<7\]

2 Wybór rysunku

Szukamy odcinka między 3 a 7 z niezamalowanymi końcami, ponieważ nierówność jest ostra. Tak zaznaczono przedział na rysunku D.

\[x\in(3,7)\]

Odpowiedź

Odpowiedź D — przedział otwarty od 3 do 7.

\[(3,7)\]

Sprawdzenie

Liczba 5 spełnia nierówność, bo |5−5|=0<2. Końce 3 i 7 jej nie spełniają, bo w obu przypadkach wartość bezwzględna wynosi 2.

\[|5-5|=0<2,\qquad |3-5|=|7-5|=2\]

Zadanie 2

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(3\sqrt{45}-\sqrt{20}\) jest równa

\((7\cdot5)^{\frac{1}{2}}\)

\(5^{\frac{1}{2}}\)

\(7\)

\(7\cdot5^{\frac{1}{2}}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Uproszczenie pierwiastków

Wyłączamy kwadraty liczb naturalnych przed pierwiastek, aby otrzymać wyrazy z tym samym pierwiastkiem.

\[\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot5}=3\sqrt5,\qquad \sqrt{20}=\sqrt{4\cdot5}=2\sqrt5\]

2 Redukcja wyrazów podobnych

Odejmujemy współczynniki przy \(\sqrt5\).

\[3\sqrt{45}-\sqrt{20}=3\cdot3\sqrt5-2\sqrt5=7\sqrt5\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[7\sqrt5\]

Sprawdzenie

W odpowiedzi D zapis \(7\cdot5^{\frac12}\) jest równy \(7\sqrt5\), więc pasuje do otrzymanego wyniku.

\[7\cdot5^{\frac12}=7\sqrt5\]

Zadanie 3

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(\log_{25}1-\frac{1}{2}\log_{25}5\) jest równa

\(-\frac{1}{4}\)

\(-\frac{1}{2}\)

\(\frac{1}{4}\)

\(\frac{1}{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie logarytmów

Logarytm z 1 wynosi 0, a ponieważ \(25^{1/2}=5\), logarytm z 5 przy podstawie 25 wynosi \(\frac{1}{2}\).

\[\log_{25}1=0,\qquad \log_{25}5=\frac{1}{2}\]

2 Podstawienie wartości

Podstawiamy obliczone logarytmy do wyrażenia i wykonujemy mnożenie.

\[\log_{25}1-\frac{1}{2}\log_{25}5=0-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[-\frac{1}{4}\]

Sprawdzenie

Ponieważ \(25^0=1\) i \(25^{1/2}=5\), obie użyte wartości logarytmów są poprawne.

\[0-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}\]

Zadanie 4

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Liczby rzeczywiste

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\) liczba \(3n^3+18n^2+15n\) jest podzielna przez \(6\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozłóż wyrażenie na czynniki

Wyłączamy 3n przed nawias i rozkładamy otrzymany trójmian.

\[3n^3+18n^2+15n=3n(n^2+6n+5)=3n(n+1)(n+5)\]

2 Wykorzystaj parzystość

Liczby n i n+1 są kolejne, więc jedna z nich jest parzysta. Ich iloczyn jest zatem podzielny przez 2, a całe wyrażenie przez 6.

\[n(n+1)=2k\quad\text{dla pewnego }k\in\mathbb{Z},\qquad 3n(n+1)(n+5)=6k(n+5)\]

Odpowiedź

Dla każdej liczby naturalnej n≥1 podana liczba jest podzielna przez 6.

\[6\mid(3n^3+18n^2+15n)\]

Sprawdzenie

Po podzieleniu przez 6 otrzymujemy liczbę całkowitą: połowa iloczynu kolejnych liczb n i n+1 jest całkowita.

\[\frac{3n^3+18n^2+15n}{6}=\frac{n(n+1)}{2}(n+5)\in\mathbb{Z}\]

Zadanie 5

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia \(\frac{3^{-1}}{\left(-\frac{1}{9}\right)^{-2}}\cdot 81\) jest równa

\(\frac{1}{3}\)

\(\left(-\frac{1}{3}\right)\)

\(3\)

\((-3)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie potęg

Ujemny wykładnik oznacza odwrotność, a parzysty wykładnik daje wynik dodatni.

\[3^{-1}=\frac{1}{3},\qquad \left(-\frac{1}{9}\right)^{-2}=(-9)^2=81\]

2 Obliczenie wartości wyrażenia

Podstawiamy obliczone potęgi i skracamy przez 81.

\[\frac{\frac{1}{3}}{81}\cdot81=\frac{1}{3}\]

Odpowiedź

Wynik to 1/3, czyli odpowiedź A.

\[\frac{1}{3}\]

Sprawdzenie

Mianownik ma wartość 81, więc jest różny od zera. Iloczyn dzielenia przez 81 i mnożenia przez 81 pozostawia 1/3.

\[\left(\frac{1}{3}:81\right)\cdot81=\frac{1}{3}\]

Zadanie 6

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia \((2-\sqrt{3})^2-(\sqrt{3}-2)^2\) jest równa

\((-2\sqrt{3})\)

\(0\)

\(6\)

\(8\sqrt{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Porównanie podstaw potęg

Wyrażenia w nawiasach są liczbami przeciwnymi, więc ich kwadraty są równe.

\[\sqrt{3}-2=-(2-\sqrt{3}),\qquad (\sqrt{3}-2)^2=(2-\sqrt{3})^2\]

2 Obliczenie różnicy

Odejmujemy od siebie równe kwadraty.

\[(2-\sqrt{3})^2-(\sqrt{3}-2)^2=(2-\sqrt{3})^2-(2-\sqrt{3})^2=0\]

Odpowiedź

Wartość wyrażenia wynosi 0. Odpowiedź B.

\[0\]

Sprawdzenie

Po rozwinięciu obu kwadratów otrzymujemy tę samą liczbę, więc ich różnica wynosi 0.

\[(2-\sqrt{3})^2=7-4\sqrt{3},\qquad (\sqrt{3}-2)^2=7-4\sqrt{3}\]

Zadanie 7

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Wyrażenia algebraiczne

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) różnej od \(0\) wartość wyrażenia \(\frac{1}{2x}-x\) jest równa wartości wyrażenia

\(\frac{1}{x}\)

\(\frac{1-x}{2x}\)

\(\frac{1-2x^2}{2x}\)

\(-\frac{1}{2x}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Sprowadzenie do wspólnego mianownika

Ponieważ \(x\neq 0\), możemy zapisać \(x\) jako ułamek o mianowniku \(2x\) i odjąć liczniki.

\[\frac{1}{2x}-x=\frac{1}{2x}-\frac{2x^2}{2x}=\frac{1-2x^2}{2x}\]

2 Wybór odpowiedzi

Otrzymany ułamek występuje w odpowiedzi C.

\[\frac{1-2x^2}{2x}\]

Odpowiedź

\[\frac{1-2x^2}{2x}\]

Sprawdzenie

Dla każdego \(x\neq 0\) mianownik \(2x\) jest niezerowy. Rozdzielenie otrzymanego ułamka daje wyrażenie z treści zadania.

\[\frac{1-2x^2}{2x}=\frac{1}{2x}-\frac{2x^2}{2x}=\frac{1}{2x}-x\]

Zadanie 8

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Równanie \(\frac{(x^2-3x)(x^2+1)}{x^2-25}=0\) w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie

jedno rozwiązanie.

dwa rozwiązania.

trzy rozwiązania.

cztery rozwiązania.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie dziedziny

Mianownik nie może być równy zeru, więc wykluczamy jego miejsca zerowe.

\[x^2-25\ne 0\quad\Longrightarrow\quad x\ne -5\ \text{ i }\ x\ne 5\]

2 Wyznaczenie rozwiązań

Ułamek jest równy zeru, gdy jego licznik jest równy zeru. Ponieważ dla liczb rzeczywistych \(x^2+1>0\), rozwiązujemy równanie \(x^2-3x=0\).

\[(x^2-3x)(x^2+1)=0\quad\Longrightarrow\quad x(x-3)=0\quad\Longrightarrow\quad x=0\ \text{ lub }\ x=3\]

Odpowiedź

Równanie ma dokładnie dwa rozwiązania: 0 i 3. Odpowiedź B.

\[\{0,3\}\]

Sprawdzenie

Liczby 0 i 3 należą do dziedziny. Dla każdej z nich licznik jest równy zeru, a mianownik odpowiednio −25 i −16, więc obie spełniają równanie.

\[\frac{(0^2-3\cdot0)(0^2+1)}{0^2-25}=0,\qquad \frac{(3^2-3\cdot3)(3^2+1)}{3^2-25}=0\]

Zadanie 9

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte3 pkt

Równania i nierówności

Rozwiąż równanie \(3x^3-2x^2-3x+2=0\).

Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Grupowanie wyrazów

Wyłączamy wspólny czynnik z dwóch par wyrazów, aby otrzymać iloczyn.

\[3x^3-2x^2-3x+2=x^2(3x-2)-(3x-2)=(x^2-1)(3x-2)\]

2 Rozkład na czynniki

Korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów.

\[(x^2-1)(3x-2)=(x-1)(x+1)(3x-2)\]

3 Wyznaczenie rozwiązań

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden jego czynnik jest równy zeru.

\[x-1=0\ \lor\ x+1=0\ \lor\ 3x-2=0\quad\Longrightarrow\quad x=1\ \lor\ x=-1\ \lor\ x=\frac{2}{3}\]

Odpowiedź

Rozwiązaniami równania są −1, 2/3 i 1.

\[x\in\left\{-1,\frac{2}{3},1\right\}\]

Sprawdzenie

Dla każdej podanej liczby jeden z czynników otrzymanego iloczynu jest zerem. Rozkład jest równoważny wyjściowemu równaniu, więc wszystkie trzy liczby je spełniają i innych rozwiązań nie ma.

\[(x-1)(x+1)(3x-2)=0\]

Zadanie 10

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\), punkt \((-8,6)\) jest punktem przecięcia prostych o równaniach

\(2x+3y=2\) i \(-x+y=-14\).

\(3x+2y=-12\) i \(2x+y=10\).

\(x+y=-2\) i \(x-2y=4\).

\(x-y=-14\) i \(-2x+y=22\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie współrzędnych

Punkt należy do prostej wtedy, gdy jego współrzędne spełniają jej równanie. Podstawiamy więc x=-8 i y=6 do równań z odpowiedzi D.

\[x-y=-8-6=-14,\qquad -2x+y=-2(-8)+6=22\]

2 Wybór odpowiedzi

Punkt spełnia oba równania z odpowiedzi D, więc jest punktem wspólnym tych prostych.

\[\begin{cases}x-y=-14\\-2x+y=22\end{cases}\]

Odpowiedź

D — proste x−y=−14 i −2x+y=22.

\[\boxed{\mathrm{D}}\]

Sprawdzenie

Rozwiązanie układu daje y=6 oraz x=−8, więc wskazane proste przecinają się w podanym punkcie.

\[x=y-14,\quad -2(y-14)+y=22\Rightarrow y=6\Rightarrow x=-8\]

Zadanie 11

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Miejscem zerowym funkcji liniowej \(f\) jest liczba \(1\). Wykres tej funkcji przechodzi przez punkt \((-1,4)\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wzór funkcji \(f\) ma postać

\(f(x)=-\frac{1}{2}x+1\)

\(f(x)=-\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}\)

\(f(x)=-2x+2\)

\(f(x)=-3x+1\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie dwóch punktów

Miejsce zerowe oznacza, że dla argumentu 1 wartość funkcji wynosi 0. Znamy więc dwa punkty wykresu.

\[f(1)=0,\qquad (1,0),\;(-1,4)\]

2 Obliczenie współczynników

Podstawiamy współrzędne punktów do wzoru funkcji liniowej i odejmujemy równania, aby wyznaczyć współczynnik kierunkowy.

\[f(x)=ax+b,\qquad \begin{cases}a+b=0\\-a+b=4\end{cases}\quad\Longrightarrow\quad -2a=4\quad\Longrightarrow\quad a=-2,\;b=2\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[f(x)=-2x+2\]

Sprawdzenie

Dla argumentu 1 funkcja przyjmuje wartość 0, a dla argumentu −1 wartość 4, więc spełnia oba warunki zadania.

\[f(1)=-2+2=0,\qquad f(-1)=2+2=4\]

Zadanie 12

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja \(f\) jest określona dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wzorem \(f(x)=\frac{x-k}{x^2+1}\), gdzie \(k\) jest pewną liczbą rzeczywistą. Ta funkcja spełnia warunek \(f(1)=2\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość współczynnika \(k\) we wzorze tej funkcji jest równa

\((-3)\)

\(3\)

\((-4)\)

\(4\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie warunku

Ponieważ \(f(1)=2\), podstawiamy \(x=1\) do wzoru funkcji.

\[\frac{1-k}{1^2+1}=2\quad\Longrightarrow\quad\frac{1-k}{2}=2\]

2 Obliczenie współczynnika

Mnożymy obie strony przez 2 i rozwiązujemy równanie.

\[1-k=4\quad\Longrightarrow\quad k=-3\]

Odpowiedź

Współczynnik k jest równy −3. Odpowiedź A.

\[k=-3\]

Sprawdzenie

Dla k = −3 mianownik przy x = 1 jest różny od zera, a otrzymana wartość funkcji wynosi 2.

\[1^2+1=2\ne 0,\qquad f(1)=\frac{1-(-3)}{2}=2\]

Zadanie 13

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=(x-13)^2-256\). Jednym z miejsc zerowych tej funkcji jest liczba \((-3)\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Drugim miejscem zerowym funkcji \(f\) jest liczba

\((-29)\)

\((-23)\)

\(23\)

\(29\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie miejsc zerowych

Przyrównujemy wzór funkcji do zera i przenosimy 256 na drugą stronę równania.

\[(x-13)^2-256=0\quad\Longleftrightarrow\quad(x-13)^2=256\]

2 Rozwiązanie równania

Ponieważ \(256=16^2\), wyrażenie \(x-13\) może być równe \(16\) albo \(-16\).

\[x-13=16\ \text{lub}\ x-13=-16\quad\Longleftrightarrow\quad x=29\ \text{lub}\ x=-3\]

Odpowiedź

Drugim miejscem zerowym jest 29. Odpowiedź D.

\[x=29\]

Sprawdzenie

Dla obu liczb wartość funkcji wynosi zero: \(f(-3)=(-16)^2-256=0\) oraz \(f(29)=16^2-256=0\).

\[f(-3)=0,\qquad f(29)=0\]

Zadanie 14.1

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) narysowano wykres funkcji \(y=f(x)\) (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Funkcja \(f\) jest rosnąca w przedziale

Wykres funkcji y=f(x) w układzie współrzędnych

\([-5,4]\)

\([5,7]\)

\([1,5]\)

\([-1,5]\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczytanie przedziału

Na odcinku od x=5 do x=7 wykres wznosi się: gdy x rośnie, wartość f(x) również rośnie.

\[f(5)=1,\quad f(7)=6,\quad \frac{6-1}{7-5}=\frac{5}{2}>0\]

Odpowiedź

Funkcja f jest rosnąca w przedziale [5,7]. Odpowiedź B.

\[[5,7]\]

Sprawdzenie

Na całym przedziale [5,7] wykres jest odcinkiem o dodatnim nachyleniu. Pozostałe podane przedziały obejmują fragment malejący.

\[\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{5}{2}>0\]

Zadanie 14.2

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte1 pkt

Funkcje

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) narysowano wykres funkcji \(y=f(x)\) (zobacz rysunek).

Zapisz poniżej w postaci sumy przedziałów zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja \(f\) przyjmuje wartości większe od \(1\).

Wykres funkcji y=f(x) w układzie współrzędnych

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczyt wykresu

Szukamy części wykresu leżących powyżej prostej y=1. Na dwóch poziomych odcinkach funkcja ma wartość 4.

\[x\in[-7,-5]\cup[-4,-1]\]

2 Wyznaczenie granic pozostałych przedziałów

Odcinek malejący przecina prostą y=1 przy x=2, a odcinek rosnący zaczyna się w punkcie (5,1). Ponieważ nierówność jest ostra, argumentów 2 i 5 nie włączamy.

\[f(x)>1\quad\text{dla}\quad x\in[-1,2)\cup(5,7]\]

Odpowiedź

Zbiór szukanych argumentów to [-7,-5] ∪ [-4,2) ∪ (5,7].

\[[-7,-5]\cup[-4,2)\cup(5,7]\]

Sprawdzenie

Na krańcach x=-7, -5, -4 i 7 wartości funkcji są większe od 1, więc należą do zbioru. Dla x=2 oraz x=5 wartość wynosi dokładnie 1, więc te argumenty są wykluczone.

\[f(-7)=f(-5)=f(-4)=4>1,\qquad f(7)=6>1,\qquad f(2)=f(5)=1\]

Zadanie 14.3

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) narysowano wykres funkcji \(y=f(x)\) (zobacz rysunek).

Funkcja \(g\) jest określona za pomocą funkcji \(f\) następująco: \(g(x)=f(-x)\) dla każdego \(x\in[-7,-5]\cup[-4,4]\cup[5,7]\). Na jednym z rysunków A–D przedstawiono, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\), wykres funkcji \(y=g(x)\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wykres funkcji \(y=g(x)\) przedstawiono na rysunku

Wspólny wykres funkcji y=f(x) w układzie współrzędnych.

Wariant A: wykres funkcji w układzie współrzędnych.

Wariant B: wykres funkcji w układzie współrzędnych.

Wariant C: wykres funkcji w układzie współrzędnych.

Wariant D: wykres funkcji w układzie współrzędnych.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odbicie wykresu

We wzorze g(x)=f(-x) punkt wykresu f o współrzędnych (a,b) przechodzi w punkt (-a,b). Odbijamy więc wykres względem osi y.

\[(a,f(a))\mapsto(-a,f(a))\]

2 Porównanie charakterystycznych punktów

Odcinek od (5,1) do (7,6) przechodzi w odcinek od (-5,1) do (-7,6). Po prawej stronie odbitego wykresu, dla x od 5 do 7, wartość wynosi 4. Te cechy ma rysunek B.

\[(5,1)\mapsto(-5,1),\quad(7,6)\mapsto(-7,6),\quad g(x)=4\ \text{dla }x\in[5,7]\]

Odpowiedź

Wykres funkcji g przedstawiono na rysunku B.

\[\boxed{B}\]

Sprawdzenie

Dodatkowo f(4)=-1, więc g(-4)=-1, a f(-4)=4, więc g(4)=4. Oba punkty należą do wykresu B.

\[g(-4)=f(4)=-1,\qquad g(4)=f(-4)=4\]

Zadanie 15

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte2 pkt

Funkcje

Funkcje \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\) oraz \(F\) są określone dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Wzory tych funkcji podano poniżej.

Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.

Przedział \((−\infty,2]\) jest zbiorem wartości funkcji .......... oraz .......... .

\(A(x)=−(x−3)^2+2\)

\(B(x)=x^2+2\)

\(C(x)=−5(x−2)^2\)

\(D(x)=(x−2)^2\)

\(E(x)=2x^2−8x+10\)

\(F(x)=−2x^2+4x\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie największych wartości

Kwadrat jest nieujemny, więc w funkcji A największą wartością jest 2. Funkcję F sprowadzamy do postaci kanonicznej, aby odczytać jej największą wartość.

\[A(x)=-(x-3)^2+2\leq 2,\qquad F(x)=-2(x-1)^2+2\leq 2\]

2 Ustalenie zbiorów wartości

Funkcja A osiąga wartość 2 dla x=3, a funkcja F dla x=1. Gdy odległość x od tych liczb rośnie, wartości obu funkcji maleją bez ograniczenia. Pozostałe funkcje mają inne zbiory wartości.

\[A(3)=F(1)=2,\qquad B,E:[2,\infty),\quad C:(-\infty,0],\quad D:[0,\infty)\]

Odpowiedź

A oraz F.

\[W_A=W_F=(-\infty,2]\]

Sprawdzenie

Dla obu wybranych funkcji wartość 2 jest osiągana, żadna wartość jej nie przekracza, a każda liczba mniejsza od 2 jest osiągana dzięki odpowiedniemu kwadratowi.

\[A(3)=2,\quad F(1)=2;\qquad (x-3)^2,(x-1)^2\in[0,\infty)\]

Zadanie 16

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=(-1)^n\cdot\frac{n+1}{2}\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Trzeci wyraz tego ciągu jest równy

\(2\)

\((-2)\)

\(3\)

\((-1)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie numeru wyrazu

Aby obliczyć trzeci wyraz, podstawiamy \(n=3\) do wzoru ciągu.

\[a_3=(-1)^3\cdot\frac{3+1}{2}\]

2 Obliczenie wartości

Trzecia potęga liczby \(-1\) wynosi \(-1\), a ułamek jest równy \(2\).

\[a_3=-1\cdot\frac{4}{2}=-2\]

Odpowiedź

Trzeci wyraz ciągu wynosi \(-2\). Odpowiedź B.

\[a_3=-2\]

Sprawdzenie

Numer \(3\) jest nieparzysty, więc wyraz jest ujemny; jego wartość bezwzględna wynosi \(\frac{3+1}{2}=2\). Zatem wynik \(-2\) się zgadza.

\[|a_3|=2\]

Zadanie 17

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy \(128\), natomiast iloraz ciągu jest równy \(\left(-\frac{1}{2}\right)\).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Wyraz \(a_{2023}\) jest liczbą ujemną.	P	F
Różnica \(a_3-a_2\) jest równa \(96\).	P	F

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Znak wyrazu a_{2023}

Wyraz ciągu geometrycznego obliczamy ze wzoru ogólnego. Wykładnik 2022 jest parzysty, więc wyraz jest dodatni.

\[a_{2023}=128\left(-\frac{1}{2}\right)^{2022}>0\]

2 Różnica wyrazów

Mnożymy pierwszy wyraz kolejno przez iloraz, aby obliczyć drugi i trzeci wyraz, a następnie ich różnicę.

\[a_2=128\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-64,\quad a_3=-64\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=32,\quad a_3-a_2=32-(-64)=96\]

Odpowiedź

Pierwsze stwierdzenie: F. Drugie stwierdzenie: P.

\[a_{2023}>0,\qquad a_3-a_2=96\]

Sprawdzenie

Dodatniość a_{2023} wynika też z tego, że od a_1 do a_{2023} znak zmienia się parzystą liczbę razy. Obliczone wyrazy spełniają warunek na iloraz: 32:(-64)=-1/2.

\[(-1)^{2022}=1,\qquad \frac{a_3}{a_2}=\frac{32}{-64}=-\frac{1}{2}\]

Zadanie 18

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Ciągi

Ciąg \((3x^2+5x, x^2, 20-x^2)\) jest arytmetyczny.

Oblicz \(x\). Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek ciągu arytmetycznego

W ciągu arytmetycznym podwojony wyraz środkowy jest sumą wyrazów skrajnych.

\[2x^2=(3x^2+5x)+(20-x^2)\]

2 Obliczenie x

Upraszczamy równanie i odejmujemy 2x² od obu stron.

\[2x^2=2x^2+5x+20\quad\Longrightarrow\quad 5x+20=0\quad\Longrightarrow\quad x=-4\]

Odpowiedź

x = −4

\[x=-4\]

Sprawdzenie

Dla x = −4 wyrazy ciągu to 28, 16, 4. Obie różnice są równe −12, więc ciąg jest arytmetyczny.

\[16-28=4-16=-12\]

Zadanie 19

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(\cos\alpha=\frac{2\sqrt{6}}{7}\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Sinus kąta \(\alpha\) jest równy

\(\frac{24}{49}\)

\(\frac{5}{7}\)

\(\frac{25}{49}\)

\(\frac{\sqrt{6}}{7}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie tożsamości trygonometrycznej

Z tożsamości \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) obliczamy kwadrat sinusa.

\[\sin^2\alpha=1-\left(\frac{2\sqrt{6}}{7}\right)^2=1-\frac{24}{49}=\frac{25}{49}\]

2 Wybór pierwiastka

Kąt \(\alpha\) jest ostry, więc jego sinus jest dodatni.

\[\sin\alpha=\sqrt{\frac{25}{49}}=\frac{5}{7}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[\sin\alpha=\frac{5}{7}\]

Sprawdzenie

Otrzymany sinus jest dodatni, a suma kwadratów sinusa i podanego cosinusa wynosi 1.

\[\left(\frac{5}{7}\right)^2+\left(\frac{2\sqrt{6}}{7}\right)^2=\frac{25}{49}+\frac{24}{49}=1\]

Zadanie 20

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Trapez \(T_1\), o polu równym \(52\) i obwodzie \(36\), jest podobny do trapezu \(T_2\). Pole trapezu \(T_2\) jest równe \(13\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Obwód trapezu \(T_2\) jest równy

\(18\)

\(9\)

\(\frac{169}{9}\)

\(\frac{52}{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie skali podobieństwa

Stosunek pól figur podobnych jest kwadratem skali podobieństwa, więc obliczamy dodatnią skalę trapezu \(T_2\) względem \(T_1\).

\[k^2=\frac{13}{52}=\frac14,\qquad k=\frac12\]

2 Obliczenie obwodu

Obwody figur podobnych są w stosunku równym skali podobieństwa.

\[O_2=kO_1=\frac12\cdot36=18\]

Odpowiedź

A. Obwód trapezu \(T_2\) wynosi \(18\).

\[O_2=18\]

Sprawdzenie

Stosunek obwodów wynosi \(18:36=1:2\), a kwadrat tej skali daje stosunek pól \(13:52=1:4\).

\[\left(\frac{18}{36}\right)^2=\frac14=\frac{13}{52}\]

Zadanie 21

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Koło ma promień równy \(3\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Obwód wycinka tego koła o kącie środkowym \(30^\circ\) jest równy

\(\frac{3}{4}\pi\)

\(\frac{1}{2}\pi\)

\(\frac{3}{4}\pi+6\)

\(\frac{1}{2}\pi+6\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie długości łuku

Kąt 30° stanowi jedną dwunastą pełnego kąta, więc łuk ma jedną dwunastą obwodu koła.

\[l=\frac{30^\circ}{360^\circ}\cdot 2\pi\cdot 3=\frac{\pi}{2}\]

2 Obliczenie obwodu wycinka

Do długości łuku dodajemy dwa promienie tworzące brzegi wycinka.

\[O=l+2r=\frac{\pi}{2}+2\cdot 3=\frac{\pi}{2}+6\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[O=\frac{1}{2}\pi+6\]

Sprawdzenie

Jedna dwunasta obwodu całego koła wynosi π/2, a dwa promienie mają łącznie długość 6. Ich suma zgadza się z odpowiedzią D.

\[\frac{1}{12}\cdot 6\pi+6=\frac{\pi}{2}+6\]

Zadanie 22

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

W okręgu \(O\) kąt środkowy \(\beta\) oraz kąt wpisany \(\alpha\) są oparte na tym samym łuku. Kąt \(\beta\) ma miarę o \(40^\circ\) większą od kąta \(\alpha\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta \(\beta\) jest równa

\(40^\circ\)

\(80^\circ\)

\(100^\circ\)

\(120^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie własności kątów

Kąt środkowy oparty na tym samym łuku ma miarę dwa razy większą niż kąt wpisany.

\[\beta=2\alpha\]

2 Obliczenie miary kąta

Z treści zadania mamy również \(\beta=\alpha+40^\circ\). Porównujemy oba wyrażenia i obliczamy kąty.

\[2\alpha=\alpha+40^\circ\Rightarrow\alpha=40^\circ\Rightarrow\beta=80^\circ\]

Odpowiedź

Miara kąta β wynosi 80°. Odpowiedź B.

\[\beta=80^\circ\]

Sprawdzenie

Kąt środkowy 80° jest dwa razy większy od kąta wpisanego 40° i przewyższa go o 40°.

\[80^\circ=2\cdot40^\circ,\qquad80^\circ-40^\circ=40^\circ\]

Zadanie 23

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

W trójkącie \(ABC\) długość boku \(AC\) jest równa \(3\), a długość boku \(BC\) jest równa \(4\). Dwusieczna kąta \(ACB\) przecina bok \(AB\) w punkcie \(D\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Stosunek \(|AD|:|DB|\) jest równy

\(4:3\)

\(4:7\)

\(3:4\)

\(3:7\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie twierdzenia o dwusiecznej

Dwusieczna kąta trójkąta dzieli przeciwległy bok w stosunku długości boków przyległych do tego kąta.

\[\frac{|AD|}{|DB|}=\frac{|AC|}{|BC|}=\frac{3}{4}\]

Odpowiedź

Stosunek |AD|:|DB| wynosi 3:4. Odpowiedź C.

\[|AD|:|DB|=3:4\]

Sprawdzenie

Jeśli |AD|=3t i |DB|=4t dla t>0, to ich stosunek wynosi 3:4, zgodnie z twierdzeniem o dwusiecznej.

\[\frac{|AD|}{|DB|}=\frac{3t}{4t}=\frac{3}{4}\]

Zadanie 24

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

Dany jest trapez równoramienny \(ABCD\), w którym podstawa \(CD\) ma długość \(6\), ramię \(AD\) ma długość \(4\), a kąty \(BAD\) oraz \(ABC\) mają miarę \(60^\circ\) (zobacz rysunek).

Oblicz pole tego trapezu. Zapisz obliczenia.

Trapez równoramienny ABCD. Podstawa CD ma oznaczenie 6, ramię AD ma oznaczenie 4, a kąty przy A i B mają oznaczenia 60°.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie wysokości

Po opuszczeniu wysokości z wierzchołka D powstaje trójkąt prostokątny, w którym ramię AD jest przeciwprostokątną.

\[h=AD\sin 60^\circ=4\cdot\frac{\sqrt3}{2}=2\sqrt3\]

2 Obliczenie dolnej podstawy

Rzut poziomy każdego ramienia ma długość 2. W trapezie równoramiennym dodajemy oba rzuty do górnej podstawy.

\[AB=CD+2\cdot AD\cos 60^\circ=6+2\cdot4\cdot\frac12=10\]

3 Obliczenie pola

Pole trapezu jest iloczynem połowy sumy podstaw i wysokości.

\[P=\frac{AB+CD}{2}\cdot h=\frac{10+6}{2}\cdot2\sqrt3=16\sqrt3\]

Odpowiedź

Pole trapezu wynosi 16√3 jednostek kwadratowych.

\[P=16\sqrt3\]

Sprawdzenie

Różnica podstaw wynosi 4, więc na każde ramię przypada rzut długości 2. Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy tę samą wysokość.

\[AB-CD=10-6=4=2\cdot2,\qquad h=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt3\]

Zadanie 25

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dane są prosta \(k\) o równaniu \(y=\frac{3}{4}x-\frac{7}{4}\) oraz punkt \(P=(12,-1)\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Prosta przechodząca przez punkt \(P\) i równoległa do prostej \(k\) ma równanie

\(y=-\frac{3}{4}x+8\)

\(y=\frac{3}{4}x-10\)

\(y=\frac{4}{3}x-17\)

\(y=-\frac{4}{3}x+15\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustalenie współczynnika kierunkowego

Proste równoległe mają taki sam współczynnik kierunkowy, więc szukana prosta ma postać:

\[y=\frac{3}{4}x+b\]

2 Wyznaczenie wyrazu wolnego

Podstawiamy współrzędne punktu \(P=(12,-1)\), ponieważ szukana prosta przez niego przechodzi.

\[-1=\frac{3}{4}\cdot12+b=9+b\quad\Rightarrow\quad b=-10\]

Odpowiedź

Szukana prosta ma równanie \(y=\frac{3}{4}x-10\). Poprawna odpowiedź: B.

\[y=\frac{3}{4}x-10\]

Sprawdzenie

Współczynnik kierunkowy wynosi \(\frac{3}{4}\), tak jak dla prostej \(k\). Po podstawieniu \(x=12\) otrzymujemy \(y=-1\), więc prosta przechodzi przez punkt \(P\).

\[\frac{3}{4}\cdot12-10=9-10=-1\]

Zadanie 26

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dany jest okrąg \(O\) o środku \(S=(-1,2)\) i promieniu \(3\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Okrąg \(O\) jest określony równaniem

\((x-1)^2+(y+2)^2=9\)

\((x-1)^2+(y+2)^2=3\)

\((x+1)^2+(y-2)^2=9\)

\((x+1)^2+(y-2)^2=3\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie wzoru

Okrąg o środku \((a,b)\) i promieniu \(r\) opisuje równanie, w którym suma kwadratów odległości współrzędnych od środka jest równa \(r^2\).

\[(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\]

2 Podstawienie danych

Podstawiamy współrzędne środka \(a=-1\), \(b=2\) oraz promień \(r=3\).

\[(x-(-1))^2+(y-2)^2=3^2\quad\Longrightarrow\quad(x+1)^2+(y-2)^2=9\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[(x+1)^2+(y-2)^2=9\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu współrzędnych środka lewa strona wynosi zero. Prawa strona to kwadrat promienia \(3\), więc równanie opisuje okrąg o podanym środku i promieniu.

\[(-1+1)^2+(2-2)^2=0,\qquad r=\sqrt{9}=3\]

Zadanie 27

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) proste o równaniach:

\(y=\sqrt{3}x+6\)
\(y=-\sqrt{3}x+6\)
\(y=-\frac{1}{\sqrt{3}}x-2\),

przecinają się w punktach, które są wierzchołkami trójkąta \(KLM\).

Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.

Trójkąt \(KLM\) jest …, ponieważ …

równoramienny

prostokątny

oś \(Ox\) przechodzi przez jeden z wierzchołków tego trójkąta i środek jednego z boków tego trójkąta.

dwie z tych prostych są prostopadłe.

oś \(Oy\) zawiera dwusieczną tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Sprawdzenie prostopadłości

Dwie proste o niezerowych współczynnikach kierunkowych są prostopadłe, gdy iloczyn tych współczynników wynosi −1. Sprawdzamy pierwszą i trzecią prostą.

\[\sqrt{3}\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=-1\]

2 Ustalenie rodzaju trójkąta

Pierwsza i trzecia prosta wyznaczają dwa boki trójkąta. Skoro są prostopadłe, kąt między tymi bokami jest prosty.

\[\angle KLM=90^\circ\ \text{dla odpowiedniego oznaczenia wierzchołków}\]

Odpowiedź

Trójkąt KLM jest prostokątny, ponieważ dwie z podanych prostych są prostopadłe. Odpowiedź B, uzasadnienie 2.

\[\boxed{\text{B2}}\]

Sprawdzenie

Pierwsza i druga prosta przecinają się w punkcie (0,6). Punkt ten nie leży na trzeciej prostej, bo dla x=0 ma ona y=−2. Proste tworzą więc trójkąt, a obliczony iloczyn współczynników kierunkowych potwierdza jego kąt prosty.

\[(0,6)\notin\left\{(x,y):y=-\frac{x}{\sqrt{3}}-2\right\},\qquad \sqrt{3}\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=-1\]

Zadanie 28

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) punkt \(A=(-1,-4)\) jest wierzchołkiem równoległoboku \(ABCD\). Punkt \(S=(2,2)\) jest środkiem symetrii tego równoległoboku.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość przekątnej \(AC\) równoległoboku \(ABCD\) jest równa

\(\sqrt{5}\)

\(2\sqrt{5}\)

\(3\sqrt{5}\)

\(6\sqrt{5}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wykorzystanie środka symetrii

Środek symetrii równoległoboku jest środkiem jego przekątnych, więc długość \(AC\) jest dwa razy większa od długości \(AS\).

\[|AC|=2|AS|\]

2 Obliczenie długości

Długość odcinka \(AS\) obliczamy ze wzoru na odległość punktów w układzie współrzędnych.

\[|AS|=\sqrt{(2-(-1))^2+(2-(-4))^2}=\sqrt{3^2+6^2}=3\sqrt{5},\qquad |AC|=2\cdot3\sqrt{5}=6\sqrt{5}\]

Odpowiedź

Długość przekątnej AC wynosi \(6\sqrt{5}\). Odpowiedź D.

\[|AC|=6\sqrt{5}\]

Sprawdzenie

Punkt przeciwległy do A względem S ma współrzędne \((5,8)\). Środek odcinka o końcach \((-1,-4)\) i \((5,8)\) to \((2,2)\), a jego długość wynosi \(\sqrt{6^2+12^2}=6\sqrt{5}\).

\[\left(\frac{-1+5}{2},\frac{-4+8}{2}\right)=(2,2),\qquad \sqrt{(5+1)^2+(8+4)^2}=6\sqrt{5}\]

Zadanie 29.1

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość równą \(6\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe

\(216+18\sqrt{3}\)

\(216+54\sqrt{3}\)

\(216+216\sqrt{3}\)

\(216+108\sqrt{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Pole boczne

Graniastosłup jest prosty, więc pole powierzchni bocznej to obwód podstawy pomnożony przez wysokość. Obie długości krawędzi wynoszą 6.

\[P_b=(6\cdot 6)\cdot 6=216\]

2 Pole podstawy

Sześciokąt foremny składa się z sześciu trójkątów równobocznych o boku 6. Pole każdego z nich obliczamy ze wzoru na pole trójkąta równobocznego.

\[P_p=6\cdot\frac{6^2\sqrt{3}}{4}=54\sqrt{3}\]

3 Pole całkowite

Do pola bocznego dodajemy pola dwóch jednakowych podstaw.

\[P_c=P_b+2P_p=216+2\cdot54\sqrt{3}=216+108\sqrt{3}\]

Odpowiedź

D. Pole powierzchni całkowitej wynosi 216 + 108√3.

\[P_c=216+108\sqrt{3}\]

Sprawdzenie

Sześć ścian bocznych ma po 36 jednostek kwadratowych, czyli razem 216. Dwie podstawy mają łącznie 108√3 jednostek kwadratowych; ich suma odpowiada odpowiedzi D.

\[6\cdot36+2\cdot54\sqrt{3}=216+108\sqrt{3}\]

Zadanie 29.2

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte1 pkt

Stereometria

Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość równą \(6\).

Oblicz cosinus kąta nachylenia dłuższej przekątnej tego graniastosłupa do płaszczyzny podstawy graniastosłupa. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rzut przekątnej

Rzut dłuższej przekątnej graniastosłupa na podstawę łączy przeciwległe wierzchołki sześciokąta foremnego. Ma długość dwóch boków sześciokąta.

\[d=2\cdot 6=12\]

2 Długość przekątnej graniastosłupa

Rzut, krawędź boczna i przekątna graniastosłupa tworzą trójkąt prostokątny, więc stosujemy twierdzenie Pitagorasa.

\[D=\sqrt{12^2+6^2}=\sqrt{180}=6\sqrt{5}\]

3 Cosinus kąta nachylenia

Kąt między przekątną a płaszczyzną podstawy jest kątem między przekątną a jej rzutem. Cosinus to stosunek długości rzutu do długości przekątnej.

\[\cos\alpha=\frac{12}{6\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\]

Odpowiedź

Cosinus kąta nachylenia wynosi \(\frac{2\sqrt{5}}{5}\).

\[\cos\alpha=\frac{2\sqrt{5}}{5}\]

Sprawdzenie

Obliczona przekątna spełnia twierdzenie Pitagorasa, a otrzymany cosinus należy do przedziału \((0,1)\).

\[(6\sqrt{5})^2=12^2+6^2=180,\qquad 0<\frac{2\sqrt{5}}{5}<1\]

Zadanie 30

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Kombinatoryka

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfry się nie powtarzają, jest

\(9\cdot10\cdot10\cdot10\cdot10\)

\(9\cdot9\cdot9\cdot9\)

\(10\cdot9\cdot8\cdot7\)

\(9\cdot9\cdot8\cdot7\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wybór pierwszej cyfry

Pierwsza cyfra nie może być zerem, więc mamy 9 możliwości.

\[9\]

2 Wybór pozostałych cyfr

Cyfry nie mogą się powtarzać. Na kolejne miejsca pozostaje odpowiednio 9, 8 i 7 możliwości, więc mnożymy liczby wyborów.

\[9\cdot9\cdot8\cdot7=4536\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: 4536 liczb.

\[9\cdot9\cdot8\cdot7=4536\]

Sprawdzenie

Spośród wszystkich zapisów z czterema różnymi cyframi odejmujemy te, które zaczynają się od zera. Otrzymujemy ten sam wynik.

\[10\cdot9\cdot8\cdot7-9\cdot8\cdot7=5040-504=4536\]

Zadanie 31

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Ze zbioru pięciu liczb \(\{1,2,3,4,5\}\) losujemy bez zwracania kolejno dwa razy po jednej liczbie.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że obie wylosowane liczby są nieparzyste. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Pierwsze losowanie

W zbiorze są trzy liczby nieparzyste spośród pięciu, więc prawdopodobieństwo wylosowania nieparzystej liczby wynosi trzy piąte.

\[P(\text{pierwsza nieparzysta})=\frac{3}{5}\]

2 Drugie losowanie

Jeśli pierwsza liczba była nieparzysta, po losowaniu bez zwracania pozostają dwie liczby nieparzyste spośród czterech. Mnożymy prawdopodobieństwa kolejnych zdarzeń.

\[P(A)=\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}=\frac{3}{10}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi trzy dziesiąte.

\[P(A)=\frac{3}{10}\]

Sprawdzenie

Możliwych uporządkowanych par jest 5·4=20, a par złożonych z liczb nieparzystych 3·2=6. Ich iloraz to 6/20=3/10.

\[\frac{3\cdot2}{5\cdot4}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}\]

Zadanie 32

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Na diagramie przedstawiono rozkład wynagrodzenia brutto wszystkich stu pracowników pewnej firmy za styczeń 2023 roku.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Średnia wynagrodzenia brutto wszystkich pracowników tej firmy za styczeń 2023 roku jest równa

Diagram słupkowy liczby pracowników według wynagrodzenia brutto za styczeń 2023 roku. Wynagrodzeniom 4800, 5100, 5500, 5900, 6400, 7500 i 8600 zł odpowiadają kolejno liczby pracowników: 10, 36, 5, 25, 18, 4 i 2.

\(5\ 690\ \mathrm{zł}\)

\(5\ 280\ \mathrm{zł}\)

\(6\ 257\ \mathrm{zł}\)

\(5\ 900\ \mathrm{zł}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie sumy wynagrodzeń

Mnożymy każdą kwotę przez liczbę pracowników, którzy ją otrzymali, a następnie dodajemy wyniki.

\[10\cdot4800+36\cdot5100+5\cdot5500+25\cdot5900+18\cdot6400+4\cdot7500+2\cdot8600=569000\ \mathrm{zł}\]

2 Obliczenie średniej

Sumę wynagrodzeń dzielimy przez liczbę wszystkich pracowników.

\[\frac{569000\ \mathrm{zł}}{100}=5690\ \mathrm{zł}\]

Odpowiedź

Średnie wynagrodzenie wynosi 5690 zł. Odpowiedź A.

\[\boxed{5690\ \mathrm{zł}\text{ — A}}\]

Sprawdzenie

Liczby pracowników sumują się do 100, więc użyty dzielnik jest poprawny. Iloczyn średniej i liczby pracowników daje obliczoną sumę wynagrodzeń.

\[10+36+5+25+18+4+2=100,\qquad 5690\cdot100=569000\]

Zadanie 33

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Optymalizacja i rachunek różniczkowy

Zakład stolarski produkuje krzesła, które sprzedaje po 196 złotych za sztukę. Właściciel, na podstawie analizy rzeczywistych wpływów i wydatków, stwierdził, że:

przychód \(P\) (w złotych) ze sprzedaży \(x\) krzeseł można opisać funkcją \(P(x)=196x\)
koszt \(K\) (w złotych) produkcji \(x\) krzeseł dziennie można opisać funkcją \(K(x)=4x^2+4x+240\)

Dziennie w zakładzie można wyprodukować co najwyżej 30 krzeseł.

Oblicz, ile krzeseł powinien dziennie sprzedawać zakład, aby zysk ze sprzedaży krzeseł wyprodukowanych przez ten zakład w ciągu jednego dnia był możliwie największy. Oblicz ten największy zysk.

Zapisz obliczenia.

Wskazówka: przyjmij, że zysk jest różnicą przychodu i kosztów.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie zysku

Zysk jest różnicą przychodu i kosztu produkcji.

\[Z(x)=P(x)-K(x)=196x-(4x^2+4x+240)=-4x^2+192x-240\]

2 Znalezienie maksimum

Po zapisaniu funkcji w postaci kanonicznej widać, że kwadrat jest najmniejszy dla x=24. Ponieważ jego współczynnik jest ujemny, wtedy zysk jest największy. Liczba 24 spełnia warunek produkcji od 0 do 30 krzeseł.

\[Z(x)=-4(x-24)^2+2064\leq 2064\quad\text{dla }x\in\{0,1,\ldots,30\}\]

Odpowiedź

Zakład powinien dziennie sprzedawać 24 krzesła. Największy zysk wynosi 2064 zł.

\[x=24,\qquad Z_{\max}=2064\ \mathrm{zł}\]

Sprawdzenie

Przy sprzedaży 24 krzeseł przychód wynosi 4704 zł, a koszt 2640 zł. Ich różnica to 2064 zł; 24 krzesła mieszczą się w dziennym limicie 30.

\[P(24)=196\cdot24=4704,\quad K(24)=4\cdot24^2+4\cdot24+240=2640,\quad 4704-2640=2064\]