Zamknięte1 pkt
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Równanie \(\frac{(x^2-3x)(x^2+1)}{x^2-25}=0\) w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie
A
jedno rozwiązanie.
B
dwa rozwiązania.
C
trzy rozwiązania.
D
cztery rozwiązania.
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Wyznaczenie dziedziny
Mianownik nie może być równy zeru, więc wykluczamy jego miejsca zerowe.
\[x^2-25\ne 0\quad\Longrightarrow\quad x\ne -5\ \text{ i }\ x\ne 5\]
2 Wyznaczenie rozwiązań
Ułamek jest równy zeru, gdy jego licznik jest równy zeru. Ponieważ dla liczb rzeczywistych \(x^2+1>0\), rozwiązujemy równanie \(x^2-3x=0\).
\[(x^2-3x)(x^2+1)=0\quad\Longrightarrow\quad x(x-3)=0\quad\Longrightarrow\quad x=0\ \text{ lub }\ x=3\]
Odpowiedź
Równanie ma dokładnie dwa rozwiązania: 0 i 3. Odpowiedź B.
\[\{0,3\}\]
Sprawdzenie
Liczby 0 i 3 należą do dziedziny. Dla każdej z nich licznik jest równy zeru, a mianownik odpowiednio −25 i −16, więc obie spełniają równanie.
\[\frac{(0^2-3\cdot0)(0^2+1)}{0^2-25}=0,\qquad \frac{(3^2-3\cdot3)(3^2+1)}{3^2-25}=0\]