Otwarte2 pkt
Dany jest trapez równoramienny \(ABCD\), w którym podstawa \(CD\) ma długość \(6\), ramię \(AD\) ma długość \(4\), a kąty \(BAD\) oraz \(ABC\) mają miarę \(60^\circ\) (zobacz rysunek).
Oblicz pole tego trapezu. Zapisz obliczenia.
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Obliczenie wysokości
Po opuszczeniu wysokości z wierzchołka D powstaje trójkąt prostokątny, w którym ramię AD jest przeciwprostokątną.
\[h=AD\sin 60^\circ=4\cdot\frac{\sqrt3}{2}=2\sqrt3\]
2 Obliczenie dolnej podstawy
Rzut poziomy każdego ramienia ma długość 2. W trapezie równoramiennym dodajemy oba rzuty do górnej podstawy.
\[AB=CD+2\cdot AD\cos 60^\circ=6+2\cdot4\cdot\frac12=10\]
3 Obliczenie pola
Pole trapezu jest iloczynem połowy sumy podstaw i wysokości.
\[P=\frac{AB+CD}{2}\cdot h=\frac{10+6}{2}\cdot2\sqrt3=16\sqrt3\]
Odpowiedź
Pole trapezu wynosi 16√3 jednostek kwadratowych.
\[P=16\sqrt3\]
Sprawdzenie
Różnica podstaw wynosi 4, więc na każde ramię przypada rzut długości 2. Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy tę samą wysokość.
\[AB-CD=10-6=4=2\cdot2,\qquad h=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt3\]