Otwarte2 pkt
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\) liczba \(3n^3+18n^2+15n\) jest podzielna przez \(6\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Rozłóż wyrażenie na czynniki
Wyłączamy 3n przed nawias i rozkładamy otrzymany trójmian.
\[3n^3+18n^2+15n=3n(n^2+6n+5)=3n(n+1)(n+5)\]
2 Wykorzystaj parzystość
Liczby n i n+1 są kolejne, więc jedna z nich jest parzysta. Ich iloczyn jest zatem podzielny przez 2, a całe wyrażenie przez 6.
\[n(n+1)=2k\quad\text{dla pewnego }k\in\mathbb{Z},\qquad 3n(n+1)(n+5)=6k(n+5)\]
Odpowiedź
Dla każdej liczby naturalnej n≥1 podana liczba jest podzielna przez 6.
\[6\mid(3n^3+18n^2+15n)\]
Sprawdzenie
Po podzieleniu przez 6 otrzymujemy liczbę całkowitą: połowa iloczynu kolejnych liczb n i n+1 jest całkowita.
\[\frac{3n^3+18n^2+15n}{6}=\frac{n(n+1)}{2}(n+5)\in\mathbb{Z}\]