Zadanie 29.2 — matura 2023, sierpień | Matematyka podstawowa, F-2023

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte1 pkt

Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość równą \(6\).

Oblicz cosinus kąta nachylenia dłuższej przekątnej tego graniastosłupa do płaszczyzny podstawy graniastosłupa. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Rzut dłuższej przekątnej graniastosłupa na podstawę łączy przeciwległe wierzchołki sześciokąta foremnego. Ma długość dwóch boków sześciokąta.

\[d=2\cdot 6=12\]

Rzut, krawędź boczna i przekątna graniastosłupa tworzą trójkąt prostokątny, więc stosujemy twierdzenie Pitagorasa.

\[D=\sqrt{12^2+6^2}=\sqrt{180}=6\sqrt{5}\]

Kąt między przekątną a płaszczyzną podstawy jest kątem między przekątną a jej rzutem. Cosinus to stosunek długości rzutu do długości przekątnej.

\[\cos\alpha=\frac{12}{6\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\]

Cosinus kąta nachylenia wynosi \(\frac{2\sqrt{5}}{5}\).

\[\cos\alpha=\frac{2\sqrt{5}}{5}\]

Obliczona przekątna spełnia twierdzenie Pitagorasa, a otrzymany cosinus należy do przedziału \((0,1)\).

\[(6\sqrt{5})^2=12^2+6^2=180,\qquad 0<\frac{2\sqrt{5}}{5}<1\]