Zamknięte1 pkt
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) punkt \(A=(-1,-4)\) jest wierzchołkiem równoległoboku \(ABCD\). Punkt \(S=(2,2)\) jest środkiem symetrii tego równoległoboku.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Długość przekątnej \(AC\) równoległoboku \(ABCD\) jest równa
A
\(\sqrt{5}\)
B
\(2\sqrt{5}\)
C
\(3\sqrt{5}\)
D
\(6\sqrt{5}\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Wykorzystanie środka symetrii
Środek symetrii równoległoboku jest środkiem jego przekątnych, więc długość \(AC\) jest dwa razy większa od długości \(AS\).
\[|AC|=2|AS|\]
2 Obliczenie długości
Długość odcinka \(AS\) obliczamy ze wzoru na odległość punktów w układzie współrzędnych.
\[|AS|=\sqrt{(2-(-1))^2+(2-(-4))^2}=\sqrt{3^2+6^2}=3\sqrt{5},\qquad |AC|=2\cdot3\sqrt{5}=6\sqrt{5}\]
Odpowiedź
Długość przekątnej AC wynosi \(6\sqrt{5}\). Odpowiedź D.
\[|AC|=6\sqrt{5}\]
Sprawdzenie
Punkt przeciwległy do A względem S ma współrzędne \((5,8)\). Środek odcinka o końcach \((-1,-4)\) i \((5,8)\) to \((2,2)\), a jego długość wynosi \(\sqrt{6^2+12^2}=6\sqrt{5}\).
\[\left(\frac{-1+5}{2},\frac{-4+8}{2}\right)=(2,2),\qquad \sqrt{(5+1)^2+(8+4)^2}=6\sqrt{5}\]