Zadanie 27 — matura 2023, sierpień | Matematyka podstawowa, F-2023

Zadanie 27

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) proste o równaniach:

\(y=\sqrt{3}x+6\)
\(y=-\sqrt{3}x+6\)
\(y=-\frac{1}{\sqrt{3}}x-2\),

przecinają się w punktach, które są wierzchołkami trójkąta \(KLM\).

Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.

Trójkąt \(KLM\) jest …, ponieważ …

równoramienny

prostokątny

oś \(Ox\) przechodzi przez jeden z wierzchołków tego trójkąta i środek jednego z boków tego trójkąta.

dwie z tych prostych są prostopadłe.

oś \(Oy\) zawiera dwusieczną tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Sprawdzenie prostopadłości

Dwie proste o niezerowych współczynnikach kierunkowych są prostopadłe, gdy iloczyn tych współczynników wynosi −1. Sprawdzamy pierwszą i trzecią prostą.

\[\sqrt{3}\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=-1\]

2 Ustalenie rodzaju trójkąta

Pierwsza i trzecia prosta wyznaczają dwa boki trójkąta. Skoro są prostopadłe, kąt między tymi bokami jest prosty.

\[\angle KLM=90^\circ\ \text{dla odpowiedniego oznaczenia wierzchołków}\]

Odpowiedź

Trójkąt KLM jest prostokątny, ponieważ dwie z podanych prostych są prostopadłe. Odpowiedź B, uzasadnienie 2.

\[\boxed{\text{B2}}\]

Sprawdzenie

Pierwsza i druga prosta przecinają się w punkcie (0,6). Punkt ten nie leży na trzeciej prostej, bo dla x=0 ma ona y=−2. Proste tworzą więc trójkąt, a obliczony iloczyn współczynników kierunkowych potwierdza jego kąt prosty.

\[(0,6)\notin\left\{(x,y):y=-\frac{x}{\sqrt{3}}-2\right\},\qquad \sqrt{3}\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=-1\]