Zadanie 15 — matura 2023, sierpień | Matematyka podstawowa, F-2023

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte2 pkt

Funkcje \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\) oraz \(F\) są określone dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Wzory tych funkcji podano poniżej.

Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.

Przedział \((−\infty,2]\) jest zbiorem wartości funkcji .......... oraz .......... .

\(A(x)=−(x−3)^2+2\)

\(B(x)=x^2+2\)

\(C(x)=−5(x−2)^2\)

\(D(x)=(x−2)^2\)

\(E(x)=2x^2−8x+10\)

\(F(x)=−2x^2+4x\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie największych wartości

Kwadrat jest nieujemny, więc w funkcji A największą wartością jest 2. Funkcję F sprowadzamy do postaci kanonicznej, aby odczytać jej największą wartość.

\[A(x)=-(x-3)^2+2\leq 2,\qquad F(x)=-2(x-1)^2+2\leq 2\]

2 Ustalenie zbiorów wartości

Funkcja A osiąga wartość 2 dla x=3, a funkcja F dla x=1. Gdy odległość x od tych liczb rośnie, wartości obu funkcji maleją bez ograniczenia. Pozostałe funkcje mają inne zbiory wartości.

\[A(3)=F(1)=2,\qquad B,E:[2,\infty),\quad C:(-\infty,0],\quad D:[0,\infty)\]

Odpowiedź

A oraz F.

\[W_A=W_F=(-\infty,2]\]

Sprawdzenie

Dla obu wybranych funkcji wartość 2 jest osiągana, żadna wartość jej nie przekracza, a każda liczba mniejsza od 2 jest osiągana dzięki odpowiedniemu kwadratowi.

\[A(3)=2,\quad F(1)=2;\qquad (x-3)^2,(x-1)^2\in[0,\infty)\]