Zamknięte1 pkt
Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy \(128\), natomiast iloraz ciągu jest równy \(\left(-\frac{1}{2}\right)\).
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
| Wyraz \(a_{2023}\) jest liczbą ujemną. | P | F |
| Różnica \(a_3-a_2\) jest równa \(96\). | P | F |
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Znak wyrazu a_{2023}
Wyraz ciągu geometrycznego obliczamy ze wzoru ogólnego. Wykładnik 2022 jest parzysty, więc wyraz jest dodatni.
\[a_{2023}=128\left(-\frac{1}{2}\right)^{2022}>0\]
2 Różnica wyrazów
Mnożymy pierwszy wyraz kolejno przez iloraz, aby obliczyć drugi i trzeci wyraz, a następnie ich różnicę.
\[a_2=128\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-64,\quad a_3=-64\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=32,\quad a_3-a_2=32-(-64)=96\]
Odpowiedź
Pierwsze stwierdzenie: F. Drugie stwierdzenie: P.
\[a_{2023}>0,\qquad a_3-a_2=96\]
Sprawdzenie
Dodatniość a_{2023} wynika też z tego, że od a_1 do a_{2023} znak zmienia się parzystą liczbę razy. Obliczone wyrazy spełniają warunek na iloraz: 32:(-64)=-1/2.
\[(-1)^{2022}=1,\qquad \frac{a_3}{a_2}=\frac{32}{-64}=-\frac{1}{2}\]