Matematyka — matura 2023

Liczba \(6^{30}:4^{15}\) jest równa

Dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej \(x\) iloczyn \(\sqrt{x}\cdot\sqrt[3]{x}\cdot\sqrt[6]{x}\) jest równy

Klient wpłacił do banku 30 000 zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości 7% od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie.
Po dwóch latach oszczędzania łączna wartość doliczonych odsetek na tej lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa

Liczba \(\log_2\frac{1}{8}+\log_2 4\) jest równa

Liczba \((1+\sqrt{5})^2-(1-\sqrt{5})^2\) jest równa

Do zbioru rozwiązań nierówności \((x-3)(x-2)(x+20)<0\) należy liczba

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji \(f\).

Dziedziną funkcji \(f\) jest zbiór

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji \(f\).

Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest zbiór

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{x^2+4}{x-2}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq 2\). Wartość funkcji \(f\) dla argumentu \(4\) jest równa

Prosta o równaniu \(y=ax+b\) przechodzi przez punkty \(A=(-3,-1)\) oraz \(B=(4,3)\). Współczynnik \(a\) w równaniu tej prostej jest równy

Wykresy funkcji liniowych \(f(x)=(2m+3)x+5\) oraz \(g(x)=-x\) nie mają punktów wspólnych dla

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=ax^2+bx+1\), gdzie \(a\) oraz \(b\) są pewnymi liczbami rzeczywistymi, takimi, że \(a<0\) i \(b>0\). Na jednym z rysunków A–D przedstawiono fragment wykresu tej funkcji.

Fragment wykresu funkcji \(f\) przedstawiono na rysunku

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=\frac{n-2}{3}\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\).

Liczba wyrazów tego ciągu mniejszych od \(10\) jest równa

Ciąg \((a_n)\), określony wzorem \(a_n=-2^n\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\), jest

Trzywyrazowy ciąg \((1,4,a+5)\) jest arytmetyczny. Liczba \(a\) jest równa

Ciąg geometryczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). W tym ciągu \(a_1=3{,}75\) oraz \(a_2=-7{,}5\).

Suma trzech początkowych wyrazów ciągu \((a_n)\) jest równa

Dla każdego kąta ostrego \(\alpha\) wyrażenie \(\cos\alpha-\cos\alpha\cdot\sin^2\alpha\) jest równe

Cosinus kąta ostrego \(\alpha\) jest równy \(\frac{2}{3}\). Wtedy \(\operatorname{tg}\alpha\) jest równy

Na łukach \(AB\) i \(CD\) okręgu są oparte kąty wpisane \(ADB\) i \(DBC\), takie że \(|\angle ADB|=20^\circ\) i \(|\angle DBC|=40^\circ\) (zobacz rysunek). Cięciwy \(AC\) i \(BD\) przecinają się w punkcie \(K\).

Miara kąta \(DKC\) jest równa

Pole równoległoboku \(ABCD\) jest równe \(40\sqrt{6}\). Bok \(AD\) tego równoległoboku ma długość \(10\), a kąt \(ABC\) równoległoboku ma miarę \(135^\circ\) (zobacz rysunek).

Długość boku \(AB\) jest równa

Odcinek \(AB\) jest średnicą okręgu o środku \(S\). Prosta \(k\) jest styczna do tego okręgu w punkcie \(A\). Prosta \(l\) przecina ten okrąg w punktach \(B\) i \(C\). Proste \(k\) i \(l\) przecinają się w punkcie \(D\), przy czym \(|BC|=4\) i \(|CD|=3\) (zobacz rysunek).

Odległość punktu \(A\) od prostej \(l\) jest równa

Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=-x+1\). Funkcja \(g\) jest liniowa. W prostokątnym układzie współrzędnych wykres funkcji \(g\) przechodzi przez punkt \(P=(0,-1)\) i jest prostopadły do wykresu funkcji \(f\). Wzorem funkcji \(g\) jest

Dane są punkty \(A=(1,7)\) oraz \(P=(3,1)\). Punkt \(P\) dzieli odcinek \(AB\) tak, że \(|AP|:|PB|=1:3\).

Punkt \(B\) ma współrzędne

Punkty \(A=(-1,5)\) oraz \(C=(3,-3)\) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu \(ABCD\).

Pole kwadratu \(ABCD\) jest równe

Punkt \(S'=(3,7)\) jest obrazem punktu \(S=(3a-1,b+7)\) w symetrii osiowej względem osi \(Ox\) układu współrzędnych, gdy

Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego o wysokości \(8\) jest równa \(2\sqrt{3}\). Długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa jest równa

Dany jest graniastosłup prawidłowy sześciokątny \(ABCDEFA'B'C'D'E'F'\), w którym krawędź podstawy ma długość \(5\). Przekątna \(AD'\) tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(45^\circ\) (zobacz rysunek).

Pole ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe

Średnia arytmetyczna zestawu pewnych stu liczb całkowitych dodatnich jest równa \(s\). Każdą z liczb tego zestawu zwiększamy o \(4\), w wyniku czego otrzymujemy nowy zestaw stu liczb. Średnia arytmetyczna nowego zestawu stu liczb jest równa

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych o sumie cyfr równej \(3\) jest

Rozwiąż nierówność \(x(2x-1)<2x\).

Rozwiąż równanie \((2x^2+3x)(x^2-7)=0\).

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(b\) takiej, że \(b\ne a\), prawdziwa jest nierówność

\(a^2+3b^2+4>2a+6b\).

Wykresem funkcji kwadratowej \(f\) jest parabola o wierzchołku w punkcie \(A=(0,3)\). Punkt \(B=(2,0)\) leży na wykresie funkcji \(f\). Wyznacz wzór funkcji \(f\).

W trójkącie prostokątnym równoramiennym \(ABC\) o przeciwprostokątnej \(BC\) punkt \(D\) jest środkiem ramienia \(AB\). Odcinek \(CD\) ma długość \(5\) (zobacz rysunek). Oblicz obwód trójkąta \(ABC\).

Ze zbioru ośmiu kolejnych liczb naturalnych – od 1 do 8 – losujemy kolejno bez zwracania dwa razy po jednej liczbie.

Niech \(A\) oznacza zdarzenie polegające na tym, że suma wylosowanych liczb jest dzielnikiem liczby 8.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\).

W trapezie równoramiennym \(ABCD\) podstawa \(CD\) ma długość \(5\). Punkt \(F=(3,11)\) jest środkiem odcinka \(CD\). Prosta o równaniu \(y=-\frac{4}{3}x+15\) jest osią symetrii tego trapezu oraz \(B=\left(\frac{23}{2},8\right)\).

Oblicz współrzędne wierzchołka \(A\) oraz pole tego trapezu.