Zamknięte1 pkt
Dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej \(x\) iloczyn \(\sqrt{x}\cdot\sqrt[3]{x}\cdot\sqrt[6]{x}\) jest równy
A
\(x\)
B
\(\sqrt[10]{x}\)
C
\(\sqrt[18]{x}\)
D
\(x^2\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Zapisz pierwiastki jako potęgi
Dla dodatniego \(x\) pierwiastek stopnia \(n\) jest równy \(x^{1/n}\).
\[\sqrt{x}\cdot\sqrt[3]{x}\cdot\sqrt[6]{x}=x^{1/2}\cdot x^{1/3}\cdot x^{1/6}\]
2 Dodaj wykładniki
Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy wykładniki.
\[x^{1/2+1/3+1/6}=x^{3/6+2/6+1/6}=x\]
Odpowiedź
Wynik to x, czyli odpowiedź A.
\[\boxed{\mathrm{A}\colon\ x}\]
Sprawdzenie
Iloczyn jest dodatni. Jego szósta potęga wynosi x do szóstej potęgi, więc dla dodatniego x iloczyn rzeczywiście jest równy x.
\[\left(\sqrt{x}\sqrt[3]{x}\sqrt[6]{x}\right)^6=x^3\cdot x^2\cdot x=x^6\]